Орієнтовне забарвлення графіка з обіцяною верхньою межею на максимальному незалежному наборі

У моїй роботі виникає така проблема:

Чи відомий алгоритм, який наближає хроматичне число графа без незалежного набору порядку 65? (Отже, альфа (G) <= 64 відомий, і | V | / 64 - тривіальна нижня, | V | тривіальна верхня межа. Але чи є кращі доведені наближення за цієї особливої умови?)

Що робити, якщо розслабитися до дробового хроматичного числа? А до "хороших" час роботи в середніх випадках?

— cyrix42
джерело

Я думаю, що це відмінне запитання для цього сайту; будемо сподіватися, що хтось має хорошу відповідь.

— Jukka Suomela

@TysonWilliams: Я думаю, що питання є цілком зрозумілим. Забудьте про коментар, перечитайте питання. :)

— Jukka Suomela

Найсмішніше, що ці умови гарантують, що тривіальне наближення є 64-наближеним до оптимального. Цікаво, чи просто обіцянка невеликого числа незалежності може дати кращий алгоритм.

— Сашо Ніколов

Чи проблема мотивована практичним застосуванням? Якщо так, то слід зосередитись на цікавій евристиці, яка буде добре робити - покращення тривіального наближення 64 не так цікаво.

— Чандра Чекурі

O (n^{64})

$O(n^{64})$

Відповіді:

Обчисліть максимальну відповідність у додатку до вхідного графіка. Кожен незрівняний вузол повинен бути в різному кольоровому класі будь-якого забарвлення. Отже: якщо у вас є принаймні краї, збігані з cn, то саме відповідність дає вам забарвлення із верхньою межею (1-c) n та співвідношенням наближення 64 (1-c). Якщо ви не отримаєте принаймні країв cn, то ви отримаєте нижню межу (1 - 2c) n кольорів та коефіцієнт наближення 1 / (1-2c). Розв’язування рівняння 64 (1-c) = 1 / (1-2c) призводить до коефіцієнта наближення трохи більше 32; дивіться коментар Сашо Ніколова для точного значення.

— Девід Еппштейн
джерело

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— Андрій Д. Кінг
джерело

Невелика корекція: неправда, що число забарвлення дорівнює найменшій кількості кольорів у жадібному забарвленні. Якщо ви замовляєте вершини відповідно до їх кольорів в оптимальному кольорі (з додатковою властивістю, що перший клас кольорів є максимальним, а другий - максимальним у решті графіка тощо), алчний алгоритм знайде таке саме оптимальне забарвлення.

— Девід Еппштейн