Структура даних для найкоротших шляхів

Нехай - невагомий непрямий графік з вершинами та ребрами. Чи можливо попередньо обробити і створити структуру даних розміром щоб вона могла відповідати на запити форми "відстань між та " за час O (n)? $G$ $n$ $m$ $G$ $m \cdot \mathrm{polylog}(n)$ $u$ $v$

Проблема видається надто базовою, щоб її вирішити.

graph-theory graph-algorithms ds.data-structures

— іляраз
джерело

У відповідь на ваше остаточне зауваження про "занадто основне, щоб не вирішити": Якщо на запит потрібно відповідати постійно, він справді добре вивчений. Але питання вашого питання полягає в тому, що ви даєте час O (n) для запиту (замість O (1) або тривіального O (m)). Хоча я вважаю, що це цікаве питання, я не думаю, що питання має принципове значення.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto - Я не розумію, чому питання втрачає своє "принципове значення", якщо він дозволяє суперконстантний, але сублінійний час запиту. Наприклад, припустимо, що я можу вирішити вищезазначену проблему з тим обмеженням, що на запити відстані можна відповісти за час протягом деякого , а час обробки - максимум - чи не дасть мені це субкубічний алгоритм для обчислення найкоротших шляхів? Я особисто думаю, що це дуже цікаве питання.

O (n^{1 - ε})

$O(n^{1-\varepsilon})$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (n^{3 - ε})

$O(n^{3 - \varepsilon})$

— Рахіт

Я не знаю, є загальний шлях чи ні, але є хороший спосіб у обмежених графіках широкої ширини, див. Запит на найкоротший шлях у обмежених графіках ширини ширини

— Saeed

Крім того, якщо

m = Ω (n^{2})

$m = \Omega(n^2)$ ви можете створити найкоротші дерева шляхів (починаючи з кожного вузла), а потім відповісти на найкоротший запит шляху (за спорідненим коренем) в

O (n)

$O(n)$ , або подібним чином ви можете побудувати дані структура з меншим розміром пам'яті.

— Саїд

Відповіді:

Це дуже цікаве питання. На високому рівні ви запитуєте, чи можна попередньо обробити графік таким чином, щоб найкоротші запити шляху стали незалежними від щільності графіка, не використовуючи зайвого простору - цікаво, але, як ви кажете, невирішене.

Якщо ви задоволені приблизними відстанями, ось спосіб отримати $2$ апроксимацію. Нехай $G$ - зважений непрямий графік з $n$ вузлами та $m$ ребрами. У наступному документі показано, що для запитів на приблизну відстань проектування структур даних для графіків з $m$ ребрами не складніше, ніж графіки, у яких кожен вузол має ступінь, обмежену $m/n$ :

Р. Агарвал, П. Б. Годфрі, С. Хар-Пелед, Приблизні запити на відстань і компактна маршрутизація в розріджених графіках, ІНФОКОМ 2011

Отже, припустимо, що - графік, обмежений -градусом. Зразок вузлів рівномірно; викликати ці орієнтири. Під час фази попередньої обробки зберігайте на графіку відстань від кожного вузла орієнтиру до кожного іншого вузла; для цього потрібен простір. Для кожного вузла зберігайте його найближчий орієнтирний вузол . Крім того, зберігайте графік у структурі даних, скажімо, як список суміжності. $G$ $m/n$ $\alpha = O(m/n)$ $O(m)$ $u$ $\ell(u)$

За запитом на відстань між та , зростайте кулі навколо обох вузлів - куля вузла визначається як набір вузлів, які суворо ближче до ніж до його найближчого орієнтиру, наприклад, . Можна показати, що розмір кожної кулі дорівнює в очікуванні. Нехай , де $u$ $v$ $w$ $w$ $\ell(w)$ $O(n^2/m)$ $\Gamma(u) = B(u) \cup N(B(u))$ - куля вузла і - сукупність сусідів вузлів у . Можна показати, що розмір дорівнює в очікуванні. $B(u)$ $u$ $N(B(u))$ $B(u)$ $\Gamma(u)$ $O(n)$

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v) \neq \emptyset$ $\min_{x \in \Gamma(u) \cap \Gamma(v)} \{d(u, x) + d(v, x)\}$ $d(u, \ell(u)) \leq d(v, \ell(v))$ $d(u, \ell(u)) + d(\ell(u), v)$ $d(v, \ell(v)) + d(\ell(v), u)$ $2$

З точки зору часу запиту, зауважте, що вирощування кульок займає час для графіка, обмеженого градусом; побудова та заданих кульок займає час (оскільки сусіди зберігаються в структурі даних); і перевірити, чи порожній чи не потребує також часу . $O(n)$ $m/n$ $\Gamma(u)$ $\Gamma(v)$ $O(n)$ $\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$ $O(n)$

Наведені вище межі очікуються; Я думаю, що дерандомізувати конструкцію легко. На жаль, ця методика, здається, не дозволяє отримати апроксимацію кращою за . Дуже цікаве питання, хоча…. $2$

— Рахіт
джерело

Вищеописана методика не використовує те, що ваш графік введення не зважений; можливо, є щось цікаве, що ви можете зробити, скориставшись цим фактом, але я не можу придумати спосіб знайти точні відстані. Наприклад, можна скоротити час запиту до і отримати відстань, обмежену , де - точна відстань між і .

O (n^{2} / m)

$O(n^2/m)$

2 d + 1

$2d+1$

d

$d$

u

$u$

v

$v$

— Рахіт

Я зрозумів, що не розумію, чому це 2-наближення. Thorup-Zwick в тих же ситуаціях дає 3-прибл.

— ilyaraz

@ilyaraz: Зауважте, що схема Thorup-Zwick не вимагає перевірити (і, отже, відповідає на запити майже в постійний час). Дивіться документ, про який я згадував вище, для доказів на розтягнення .

Γ (u) \cap Γ (v)

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$

2

$2$

— Рахіт

Те, що вам потрібно, називається «оракул на відстані». На жаль, я не дуже знайомий з оракулами на відстані, тому можу віднести вас лише до насіннєвого документу завдяки Торпупу та Цвіку:

Міккель Торпуп та Урі Цвік. Орієнтовна відстань оракул. STOC '01, 2001р.

Ось уривок із реферату:

Нехай - непрямий зважений графік з і . Нехай - ціле число. Покажемо, що можна попередньо обробити за очікуваний час , побудувавши структуру даних розміром $G = (V, E)$ $|V| = n$ $|E| = m$ $k$ $G = (V, E)$ $O(kmn^{1/k})$ , таким чином, що на будь-який наступний запит на відстань можна відповісти приблизно за час. Орієнтовна відстань, що повертається, становить розтягування не більше , тобто коефіцієнт, отриманий діленням розрахункової відстані на фактичну відстань, лежить між 1 і . [...] Потреба в просторі нашого алгоритму є [...] по суті оптимальною. $O(kn^{1+1/k})$ $O(k)$ $2k - 1$ $2k - 1$

Відповідно до їх результатів, те, що ви запитуєте, в основному є можливим навіть для зважених графіків: вибір дає оракул відстані розміром отриманий у очікуваний час , який може відповісти на ваші найкоротші запити шляху за допомогою -потягнути в раз! $k=1$ $O(n^2)$ $O(mn)$ $1$ $O(1)$

Віддалення оракул - це дуже добре вивчене поле, тому ви зможете копати далі, я вірю.

— Габор Ретвари
джерело

Версія журналу: JACM 2005 .

— Tsuyoshi Ito

Використовуючи простір

можна наївно зберігати таблицю пошуку. Отже, цей документ (про який я знав) тут не має значення.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ilyaraz

Справедливо. В результаті найближче до того , що ви запитуєте AFAIK для графів із середнім ступенем

, що дає стретч-2 шляхи з

просторів в

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

час запиту. (Р. Агарвал, П. Годфрі та С. Хар-Пелед, "Приблизні запити на відстань та компактне маршрутизація в розріджених графіках", INFOCOM 2011.)

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Габор Ретварі

Використовуючи вбудовану метрикою Бурген у

, можна створити оракул з простором

, часом запиту

та мультиплікативною помилкою

ℓ_{1}

$\ell_1$

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ilyaraz