Зв'язок між симетрією та обчислювальною непридатністю?

-fixed точки без проблем автоморфізм запитує автоморфизм графа , який переміщається по крайней мере , до ( п ) вузли. Проблема - N P -повна, якщо k ( n ) = n c для будь-якого c > 0.$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Однак, якщо то задача є поліноміальним часом Тюрінга, зведеним до задачі графіка ізоморфізму. Якщо k ( n ) = O ( log n / log log n ), то задача є поліноміальним часом Тьюрінга, еквівалентним задачі графа Автоморфізму, яка знаходиться в N P I і, як відомо, N P -повна. Проблема Графічного Автоморфізму є Тюрінгом зведеною до задачі Графічного ізоморфізму.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

Про складність підрахунку кількості вершин, переміщених графічними автоматизмами, Фонд програмних технологій Антоні Лозано та Віджая Рагавана, LNCS 1530, стор 295–306

Виявляється, що обчислювальна твердість збільшується в міру збільшення симетрії об'єкта, який ми намагаємося знайти (на що вказує кількість вузлів, які повинні переміщуватися автоорфізмом). Здається, це може пояснити відсутність поліноміального часу скорочення Тьюрінга від NP-повної версії до Graph Automorphism (GA)

Чи є ще один приклад важкої проблеми, яка підтримує цю залежність між симетрією та твердістю?

Це не зовсім "однаковий" взаємозв'язок між симетрією та твердістю, але існує тісний взаємозв'язок між симетріями булевої функції та її складністю ланцюга. Побачити:

Babai, L., Beals, R. and Takácsi-Nagy, P. Симетрія та складність , STOC 1992.

Ось що вони показують. Нехай - послідовність перестановочних груп. Нехай s ( G i ) позначає кількість орбіт G i в його індукованій дії на { 0 , 1 } i (за допомогою перестановки координат). Нехай F ( G ) позначає клас мов L таким, що L ∩ { 0 , 1 } n є інваріантним під G n . Тоді всі мови на $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ мають схеми розміром не більше p o l y ( s ( G ) ) і глибиною не більше p o l y ( log ( s ( G ) ) , і це по суті щільно.$\mathcal{F}(G)$$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

У протилежному напрямку кілька задач, набори свідків яких мають багато симетрій, знаходяться в c o A M (як G I ), і тому вони не є N P -комплектними, якщо P H не руйнується. Насправді наступний документ показує, що проблеми N P, чиї набори свідків мають багато симетрії, для P P низькі :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Арвінд, В., Винодчандран, Н. В. Підрахункова складність мов, що визначаються групою . Теорет. Обчислення. Наук. 242 (2000), вип. 1-2, 199--218.

(Примітка: незалежно від того, "низький рівень " вказує "навряд чи буде N P -комплект" - це трохи в повітрі, наскільки я знаю. Тода і Огівара показали, що P P P H H ⊆ B P ⋅ P P. Отже, за припущенням "дерандомізації" B P ⋅ P P = P P , N P насправді низький для P P , тому низький рівень для P P не є перешкодою для того, щоб бути N $PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-комплект. З іншого боку, існує оракул завдяки Бейгелю, щодо якого не є низьким для P P. )$NP$$PP$

У подібному руслі, як зазначено вище, якщо кожне відношення рівнозначності, яке визначається багаточленним часом, має повний інваріант полінома-час (функція така, що f ( x ) = f ( y ) iff x ∼ y ), то будь-яка проблема N P , свідки якої мати багато симетрії зводиться до прихованої проблеми підгрупи для групи автоморфізму її свідків. Щоправда, гіпотеза тут навряд чи може бути дотриманою, але вона дає певний зв’язок між симетрією та квантовою складністю.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Нарешті, програма теорії геометрічної складності Малмулі-Сохоні по суті полягає у використанні симетрії для доказу твердості, хоча з'єднання симетрія-твердість є більш тонким і менш прямим.

Структуровані екземпляри SAT, які демонструють багато симетрій, здаються легшими вирішити, ніж випадкові випадки SAT. Кодування проблем SAT в реальному світі завжди спричиняє структуровані випадки (що не дивно, оскільки реальні проблеми у світі, з якими ми стикаємося, мають симетрію). Найкращі розв'язувачі SAT здатні ефективно вирішувати екземпляри реального світу з цілим 1000000 змінними, але жодна з них, наскільки я знаю, не в змозі ефективно вирішити випадкові випадки, скажімо, 10 000 змінних ( Едвард А. Гірш на домашній сторінці можна знайти напрочуд невеликі випадкові екземпляри, на тлі яких застрягають навіть найкращі комплектатори SAT). Таким чином, з емпіричної точки зору наявність симетрій, здається, зменшує твердість.