Що би означало спростування тези Церкви Тюрінга?

Вибачте за влучну назву. Я хочу зрозуміти, що треба робити, щоб спростувати тезу Церкви Тюрінга? Десь я прочитав, що це зробити математично неможливо! Чому?

Тьюрінг, Россер тощо використовували різні терміни для розмежування: "що можна обчислити" і "що можна обчислити машиною Тьюрінга".

Визначення Тьюрінга 1939 року щодо цього: "Ми будемо використовувати вираз" обчислювальна функція ", щоб означати функцію, яку можна обчислити машиною, і дозволимо" ефективно обчислюватися "посилатися на інтуїтивну ідею без конкретного ототожнення з будь-яким із цих визначень".

Отже, теза Церкви Тьюрінга можна констатувати так: Кожна ефективно обчислювана функція є обчислювальною функцією.

Отже, знову ж таки, як буде виглядати доказ, якщо хтось спростує цю гіпотезу?

Теза Церкви Тьюрінга була доведена для всіх практичних цілей.

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Дершовіц і Гуревич, Вісник символічної логіки, 2008.

(У цьому посиланні обговорюється історія діяльності Церкви і Тьюрінга, і вона аргументується розділенням між «тези Церкви» та «дисертацією Тюрінга» як окремими логічними твердженнями, а потім доводить їх обох у межах інтуїтивної аксіоматизації обчислюваності.)

Є тонкий момент, про який я рідко бачу згадування в подібних дискусіях, і, на мою думку, заслуговує на більшу увагу.

Припустимо, як пропонує Андрій, хтось будує пристрій, який надійно обчислює функцію яку не може обчислити жодна машина Тьюрінга. Як ми могли б знати, що машина насправді обчислює ?f$f$$f$

Очевидно, жодної кінцевої кількості значень введення / виведення не буде достатньо, щоб продемонструвати, що машина обчислює , на відміну від якоїсь іншої обчислювальної функції Тьюрінга, яка погоджується з на цьому кінцевому наборі. Тому наше переконання, що машина обчислює повинно було б базуватися на наших фізичних теоріях роботи машини. Якщо ви подивитесь на деякі конкретні пропозиції щодо гіперкомп'ютерів, то виявите, що, напевне, що вони роблять - це взяти якусь вигадливу передову фізичну теорію та екстраполювати цю теорію до нескінченностіf $f$$f$$f$. Добре, добре, але тепер припустимо, що ми побудуємо гіперкомп'ютер і запитаємо, чи не зупиниться машина Тюрінга, яка шукає протиріччя в ZFC. Припустимо, що гіперкомп'ютер відповідає "Ні". Що ми робимо висновок? Чи робимо висновок, що гіперкомп'ютер "обчислив" консистенцію ZFC? Як ми можемо виключити можливість того, що ZFC насправді є непослідовним, і ми щойно провели експеримент, який фальсифікував нашу фізичну теорію?

Важливою особливістю визначення Тьюрінга є те, що його філософські припущення дуже слабкі. Він передбачає, як звичайно, певні прості риси нашого повсякденного досвіду, такі як основна стабільність фізичного світу та здатність виконувати обмежені операції надійним, повторюваним та перевіряється способом. Ці речі всі приймають (поза філософським аудиторією, тобто!). Однак, схоже, прийняття гіперкомп'ютера вимагає від нас нескінченної екстраполяціїфізичної теорії, і весь наш досвід з фізики навчив нас не бути догматичними щодо справедливості теорії в режимі, що набагато вищий за те, що ми можемо експериментально перевірити. З цієї причини мені здається вкрай малоймовірним те, що будь-який переважний консенсус коли-небудь розвинеться, що будь-який конкретний гіперкомп'ютер просто обчислює , на відміну від гіперкомп'ютерів , тобто робить щось, що можна назвати "обчислювальним", лише якщо ви приймаєте якусь суперечливу філософську чи фізичні припущення щодо нескінченних екстраполяцій.

Інший спосіб сказати, що спростування тези Церкви-Тьюрінга вимагатиме не лише побудови пристрою, який описує Андрій, але й доведення усім, що пристрій працює як рекламоване. Хоча це і немислимо, це наказ високого рівня. Для сучасних комп’ютерів остаточний характер обчислень означає, що якщо я не вірю результату "обчислення конкретного комп'ютера", я в принципі можу виконати кінцеву послідовність кроків якось зовсім іншим чином, щоб перевірити результат. Такого роду "запасного" для здорового глузду та обмеженої перевірки немає, якщо у нас є сумніви щодо гіперкомп'ютера.

Хоча доводиться теза Церкви Тьюрінга доволі важкою через неофіційну природу "ефективно обчислюваної функції", ми можемо уявити, що це означало б спростувати. А саме, якби хтось побудував пристрій, який (надійно) обчислював функцію, яку не може обчислити жодна машина Тьюрінга, це спростувало б тезу Церкви Тьюрінга, оскільки воно встановило б існування ефективно обчислюваної функції, яку не можна обчислити машиною Тюрінга.

Спростувати тезу Церкви Тьюрінга здається вкрай малоймовірною і концептуально дуже складно уявити. Існують різні "гіпотетичні фізичні світи", які перебувають у певній напрузі з тезою Церкви Тьюрінга (але чи суперечать вони цьому, саме по собі є цікавим філософським питанням). Документ Питовського "Теза фізичної церкви та фізична обчислювальна складність", Іюн 39, 81-99 (1990) стосується таких гіпотетичних фізичних світів. Дивіться також статтю Ітамара Питовського та Орона Шагріра: " Теза Церкви Тюрінга та гіперрозрахунки", Розуми та машини 13, 87-101 (2003). Орон Шагрір написав кілька філософських праць про тезу Церкви-Тьюрінга, див. Його веб-сторінку . (Дивіться також цю публікацію в блозі .)

Ефективна чи дієва теза Церкви Тьюрінга - це нескінченно сильніше твердження, ніж оригінальне твердження Церкви-Тьюрінга, яке стверджує, що всі можливі обчислення можуть бути ефективно змодельовані машиною Тюрінга. Квантові комп’ютери дійсно покажуть, що ефективна дисертація Церкви Тьюрінга є недійсною (модуль деяких математичних гіпотез обчислювальної складності та модуль "асимптотична інтерпретація"). Я думаю, що ефективна гіпотеза Церкви-Тьюрінга була вперше сформульована у 1985 році Вольфрамом, робота цитується у згаданій вище статті Питовського. Насправді вам навіть не потрібні універсальні квантові комп’ютери, щоб спростувати ефективну тезу КТ, і цікавим напрямком досліджень (що Аронсон серед інших досліджень) пропонувати якомога простіше демонстрацію обчислювальної переваги квантових систем.

Також цікава проблема, якщо існують більш прості способи продемонструвати перевагу обчислювальної переваги квантових комп'ютерів за наявності шуму, а не мати повноцінну квантову відмовність (що дозволяє універсальні квантові обчислення). (Скотт А. справді зацікавлений у цій проблемі.)

Наскільки я розумію, "неможливість" довести або спростувати тезу полягає в тому, що не існує формального визначення "ефективно обчислюваного". Сьогодні ми вважаємо, що це точно "обчислюється машиною Тюрінга", але це, швидше, ставить питання.

Були вивчені моделі обчислень, які є суворо потужнішими, ніж машина Тьюрінга, ознайомтеся з веб-сайтом http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputation . Або просто візьміть машину Тюрінга з оракулом для проблеми зупинки машин Тьюрінга. У такої машини буде своя проблема зупинки, але вона може вирішити оригінальну проблему зупинки. Звичайно, у нас немає такого оракула, але в ідеї немає нічого математично неможливого.

Заперечення гіперкомп'ютації, як правило, припускають обгрунтованість Бекенштейна, що встановлює певний ліміт кількості інформації, яку може містити кінцевий простір. Існує суперечка з цього приводу, але я думаю, що більшість фізиків приймають це.

Якщо обмеження Бекенштейна сильно порушено, і немає обмеженої кількості інформації, яка міститься в певному регіоні (скажімо, чорна діра, або нескінченно тонка і міцна гравюра), і існують довільно вдосконалені механізми для вивчення вмісту цього області (скажімо, уважно вивчивши випромінювання, як ретельно сконструйований об’єкт потрапляє в чорну діру, або провівши стилус над канавками гравіювання), можна припустити, що артефакт просто так вже існує, який кодує оракул, що зупиняється .

Все дуже малоймовірно, але це свідчить про те, що твердження про неможливість гіперкомп'ютації не є математичною істиною, а ґрунтується на фізиці. Що означає, що Андрій має рацію, коли він каже, що ми можемо уявити, що означає спростувати [теза Церкви-Тьюрінга]. А саме, якщо хтось побудував пристрій, який (надійно) обчислював функцію, яку не може обчислити жодна машина Тьюрінга .

Стосовно розширеної церковної дисертаційної роботи (мається на увазі як "імовірнісна машина Тьюрінга може ефективно імітувати будь-яку фізично обчислювану функцію".):

Одна з можливостей - різниця між класичними та квантовими комп'ютерами. Зокрема, питання: "Чи є завдання, щоб квантові комп'ютери могли виконувати ці класичні комп'ютери, не можуть?" Нещодавній звіт ЄККС Скотта Аронсона (див. Концепцію 9 на стор. 5) підкреслює домисли, які, якщо вони будуть доведені, дадуть вагомі докази проти розширеної тези Церкви-Тьюрінга.

Якби спростувати розширену тезу Церкви Тюрінга, це могло б виглядати так - конкретно, демонструючи ефективно обчислюване завдання, яке (класична) машина Тьюрінга не може ефективно обчислити.

Новий документ, представлений на DCM2011 : Формалізація та підтвердження розширеної дисертації Церкви Тюрінга (Нахум Дершовіц та Євгенія Фалькович)

Наступні документи Селіма Акла можуть зацікавити та стосуватись дискусії:

Akl, SG, "Три контрприклади для розвіяння міфу про універсальний комп'ютер", Parallel Processing Letters, Vol. 16, № 3, вересень 2006, стор 381 - 403.

Akl, SG, "Навіть прискорювальні машини не є універсальними", Міжнародний журнал нетрадиційних обчислень, Vol. 3, № 2, 2007, с. 105 - 121.

Nagy, M. and Akl, SG, "Паралельність у квантовій обробці інформації перемагає універсальний комп'ютер", Листи паралельної обробки, Спеціальний випуск з нетрадиційних обчислювальних задач, Вип. 17, № 3, вересень 2007, стор 233 - 262.

Ось конспект першого:

Показано, що концепція універсального комп'ютера неможливо реалізувати. Зокрема, представлені екземпляри обчислюваної функції F, які неможливо обчислити на будь-якій машині U, яка здатна виконувати лише обмежену та фіксовану кількість операцій за крок. Це залишається істинним, навіть якщо машина U наділена нескінченною пам'яттю та здатністю спілкуватися із зовнішнім світом під час спроби обчислити F. Це також залишається вірним, якщо, крім того, U надається невизначена кількість часу для обчислення F. Цей результат застосовується не лише до ідеалізованих моделей обчислень, таких як машина Тюрінга тощо, але також до всіх відомих комп'ютерів загального призначення, включаючи існуючі звичайні комп'ютери (як послідовні, так і паралельні), а також розглядаються нетрадиційні, такі як біологічні та квантові комп'ютери.

Як це може бути правдою? Класичний комп'ютер не може ефективно імітувати квантовий комп'ютер. Існують квантові алгоритми, які забезпечують експоненціальну швидкість порівняно з класичними комп'ютерами, що працюють з класичними алгоритмами: алгоритм Шор є одним.