Якщо абстрактна машина може імітувати себе, чи робить це Тюрінг завершеним?

Наприклад, в мовах програмування звичайно писати компілятор / інтерпретатор X-in-X, але на загальнішому рівні багато відомих систем Тьюрінга можуть імітувати себе вражаючими способами (наприклад, імітуючи Гра життя Конвея у грі життя Конвея ).

Отже, моє запитання: чи система, здатна імітувати себе, достатня для того, щоб довести, що Тюрінг завершений? Це, безумовно, є необхідною умовою.

Не обов'язково. Наприклад, двовимірний блоковий стільниковий автомат з двома станами, в якому клітина стає живою лише тоді, коли її чотири попередники мають рівно дві сусідні живі клітини, може імітувати себе з коефіцієнтом двох уповільнень та коефіцієнтом вибуху в два розміри, але не відомо, що Тьюрінг завершений. Дивіться B36 / S125 "2x2" життєвий стільниковий автомат від Натаніеля Джонстона для більш детальної інформації про цей автоматичний блок та про правило B36 / S125 для мікрорайону Мура, який також здатний імітувати цей автоматичний блок.

Ні це не так. Я знаю два основні класи методик уникнення непослідовності / повноти Тьюрінга.

1. Перша лінія атаки - це налаштування системи, щоб синтаксис можна було арифметизувати, але теорема фіксованої точки Годеля не проходить. Ден Віллард багато працював над цим і давав послідовні самоперевіряючі логічні системи. Хитрість полягає в тому, щоб усунути символи функції множення та додавання та замінити їх на поділ та віднімання. Це дає вам достатню кількість кінських сил, щоб представити синтаксис арифметично, але теорема з фіксованою точкою не проходить, оскільки множення не є суттєво повним.

   Дивіться Ден Віллард. Системи аксіом самоперевірки, теорема незавершеності та пов'язані з цим принципи відображення . Журнал символічної логіки 66 (2001), с. 536-596.

2. Другий рядок атаки дозволяє більше використовувати фіксовані точки, але налаштувати речі так, щоб синтаксис не арифметизувався. Найкрасивішими для цього є системи (ІМО), засновані на варіантах лінійної логіки. Наприклад, у теорії світлих аффін Kazushige Terui навіть повної необмежений принцип розуміння множини є здоровим, але оскільки логіка навколишнього середовища теорії множин є лінійною (а значить, стискання не дозволено), парадокс Рассела не може бути виведений.

   Інтуїтивно зрозуміла причина, що арифметизація не вдається, полягає в тому, що світловий лінійний простір функцій $A \multimap B$ встановлений таким чином, що всі його мешканці знаходяться в поліномі. В результаті легка лінійна версія аксіом Пеано не може довести загальну експоненцію (оскільки експоненціація одинарних чисел займає експоненціальний час), і тому більше немає ізоморфізму між натуральними числами та бітовими рядками.

   Казушиге Теруї. Теорія легких афінних множин: Наївна теорія множин поліноміального часу. Studia Logica, Vol. 77, № 1, с. 9-40, 2004.

   Я думаю, що цей документ є більш доступним після прочитання наступного документу Іва Лафонта:

   Ю. Лафонт, М'яка лінійна логіка та поліноміальний час , Теоретична інформатика 318 (спеціальний випуск про неявну обчислювальну складність) стор. 163-180, Elsevier (2004)

   $\omega$

   Я схильний вважати подібні системи як докази концепції того, що теорія складності може слугувати основою для певних видів ультрафінітизму.

$i$$x$$0$

$M$$M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$$M', x$

Очевидно, що Тьюрінг не є повним, але також явно має універсальні машини.