Приклади іграшок для бар’єрів до

Чи є якісь іграшкові приклади, які дають «суттєві» уявлення про розуміння трьох відомих бар’єрів для проблеми $P = NP$ - релятивізації, природних доказів та алгебризації?

Дозвольте навести іграшковий приклад бар'єру релятивізації. Канонічний приклад - теорема про ієрархію часу, що ${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$ . Доведення (за допомогою діагоналізації) лише дещо більше, ніж доказ того, що проблема зупинки не визначається: ми визначаємо алгоритм $A(x)$ який імітує $x$ й алгоритм $A_x$ на вході $x$ безпосередньо крок за кроком для $t(|x|)$ кроки, а потім виводить протилежне значення. Тоді ми стверджуємо, що $A$ можна реалізувати для запуску в $t(|x|)^2$ раз.

Аргумент працює однаково добре, якщо ми оснастимо всі алгоритми доступом до довільного набору Oracle $O$ , який, як ми вважаємо, можемо задавати запити членства за один крок обчислення. Покроковий для кроку моделювання $A_x^O$ також може бути здійснено з допомогою $A$ , до тих пір , як має доступ до оракула O теж. В позначеннях, ми маємо {\ бф TIME} ^ О [Т (п)] \ subsetneq {\ бф TIME} ^ О [Т (п) ^ 2] для всіх оракулів O . Іншими словами, часова ієрархія релятивізується .$A$$O$${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$$O$

Ми можемо визначити оракули для недетермінованих машин природним шляхом, тому має сенс визначити класи та стосовно оракул. Але є оракули і відносно яких і , тож такий аргумент прямого моделювання в теоремі ієрархії часу не буде працювати для вирішення проти . Релятивізуючі аргументи є потужними тим, що вони широко застосовні і призвели до багатьох чудових розумінь; але ця сама сила робить їх "слабкими" щодо таких питань, як проти .$P^O$$NP^O$$O$$O'$$P^O = NP^O$$P^{O'} \neq NP^{O'}$$P$$NP$$P$$NP$

Сказане вище, звичайно, іграшковий приклад - є багато інших складніших прикладів аргументів за складністю, які все ще релятивізуються (тобто, витримують, коли вводять довільні оракули).