Бінарні пошукові узагальнення для постів?

Припустимо, у мене є позиція "S" і монотонний предикат "P" на S. Я хочу знайти один або всі максимальні елементи S, що задовольняють P.

EDIT : Я зацікавлений в мінімізації кількості оцінок P .

Які алгоритми існують для цієї проблеми та які властивості та додаткові операції вони вимагають на S?

Як щодо важливих особливих випадків, таких як:

• S - лінійний порядок - тоді регулярний двійковий пошук працює, доки у вас є операція "знайти середину"
• S - решітка
• S - решітка підмножини
• S - багатошарова решітка
• ...

Два останніх випадки виглядають особливо важливими, наприклад, для дизайну експерименту - у вас є набір булевих чи реальних параметрів, і ви хочете знайти найменшу можливу комбінацію їх, яка відтворює певний зразок (наприклад, невдалий тест).

Я не дуже це продумав, тому, будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся.

Скажімо, - ширина позета.$w$

1. Для відвідати , який є об'єднанням непересічних ланцюгів , які необхідно , по крайней мере ш журнал п оцінок P , просто застосовуючи стандарт нижньої межі від складності запиту довічного пошуку для кожної ланцюга.$w$$w\log n$$P$

2. Оскільки ви даєте порівняння безкоштовно, ви можете безкоштовно обчислити ланцюгову декомпозицію групи в ланцюги. Виконувати двійковий пошук на кожному ланцюзі , щоб ідентифікувати перший елемент, що задовольняє P . Потім перейдіть через ідентифіковані елементи та видаліть усі домінуючі. Кількість оцінок P дорівнює O ( w log n ) . Це ідентифікує всі максимальні елементи, оскільки в ланцюзі може бути не більше одного максимального елемента.$w$$P$$P$$O(w\log n)$

ДОДАТО: Насправді я бачу простий рекурсивний алгоритм зробити набагато краще ( ) для решітки підмножини 2 [ n ] ( EDIT : domotor описав загальну стратегію у своїй відповіді). Тут я припускаю, що P є монотонним вниз (тобто підмножини { X : P ( X ) = 1 } утворюють нижчу множину), тобто я думаю, що ви маєте на увазі. Отже, ось алгоритм пошуку члена нижнього набору:$O(n)$$2^{[n]}$$P$$\{X: P(X) = 1\}$

а) Тест . Якщо 0, то зупиніться.$P(\emptyset)$

б) Тест . $P(\{n\})$

bi) Якщо 0, то повторіть на (Гаразд, оскільки жоден набір, що містить n, не може бути в нижньому наборі).$2^{[n-1]}$$n$

b.ii) Якщо 1, то в підрешітці існує член нижнього набору . Ця підрешітка є ізоморфною для 2 [ n - 1 ], тому ми знову можемо повторити. Точніше, ми можемо запустити алгоритм для 2 [ n - 1 ] , але коли алгоритм просить оцінити P ( Y ) , ми оцінюємо P ( X ), де X = Y ∪ { n } .$\{X: n \in X\}$$2^{[n-1]}$$2^{[n-1]}$$P(Y)$$P(X)$$X = Y \cup \{n\}$

Отже, на кожному кроці ми повторюємо підрешітку, що наполовину менша від початкової. Загалом нам потрібно оцінити не більше 2 n разів (адже ви можете реалізувати алгоритм для оцінки предиката n + 1 раз, як вказує Йосіо, оскільки вам потрібно перевірити ∅ лише один раз).$P$$2n$$n+1$$\emptyset$

Якщо - дерево, то існує алгоритм поліноміального часу, який будує оптимальне дерево рішень.$P$

Узагальнення двійкового пошуку: пошук у деревах та часткових порядках, подібних до лісів

Один недавній документ Daskalakis et al. Показує, що для набору розміру і ширини w мінімальні елементи можуть бути знайдені в часі O ( w n ) . Що цікаво, вони говорять про те, що вони резюмують$n$$w$$O(wn)$

Також було б цікаво знайти ефективні статичні та динамічні структури даних, які відіграють однакову роль для часткових замовлень, які відтворюють купи та дерева двійкових пошуків для загальних замовлень.

$x<y$

Крім того, може бути багато максимальних елементів, що задовольняють P, тому навіть для виведення всіх з них може знадобитися багато часу, тому я думаю, що є лише надія знайти один максимум.

Взагалі, бінарний пошук працює, якщо ви можете рекурсивно вибирати такі елементи, що після того, як вам залишаються або вищевказані елементи, або вищезазначені елементи видаляються, і в усіх таких наборах фіксоване співвідношення елементів видаляється.

Напр. якщо S - фіксована розмірна сітка, то існує швидкий алгоритм: Завжди вдвічі зменшуйте одну координату, зберігаючи інші мінімальними, тому запитайте, наприклад, на першому кроці (n / 2,0, ..., 0).

$n^d$

$P$$2^{[n]}$$n$$P$$P$