Чи розв'язують системи рівнянь модуль

Мене цікавить складність вирішення лінійних рівнянь по модулю k , для довільних k (і з особливим інтересом до простих сил), зокрема:

Проблема. Для даної системи лінійних рівнянь у невідомих модулях , чи існують рішення?$m$$n$$k$

У рефераті до своєї статті Структура та значення класів журналів-MOD для класів Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf та Meinel стверджують, що вони " демонструють своє значення, доводячи, що всі стандартні задачі лінійної алгебри над кінцевими кільцями є повним для цих класів$\mathbb Z/k\mathbb Z$ ". При більш детальному огляді історія складніша. Наприклад, Buntrock et al. покажіть (на основі ескізу на попередньому та вільно доступному проекті, знайденому Каве, спасибі!), що розв’язування систем лінійних рівнянь замість цього є в додатковому класі coMod _k L , для kпрем'єр. Цей клас не відомий , не дорівнює Mod _K L для K композиту, але не важливо , що - то , що я стурбований є тим фактом , що вони не роблять ніяких зауважень про те , вирішенні систем лінійних рівнянь мод до навіть містила в coMod _k L для k композиту!

Запитання: Чи розв’язуються системи лінійних рівнянь по модулю k, що міститься в coMod _k L для всіх позитивних k?

Якщо ви можете вирішити системи рівнянь по модулю з більшою потужністю q простих p , ви можете вирішити їх також по модулю p ; тому рішення систем рівнянь по модулю q є coMod _p L -твердий. Якщо ви могли б показати, що ця проблема є в Mod _q L , ви б показали Mod _k L  =  coMod _k L для всіх k . Це, мабуть, важко довести. Але це в coMod _k L ?

Я радий сказати, що я думаю, що ми можемо відповісти на це питання ствердно: тобто, вирішивши, чи можлива лінійна збіжність, модуль k є coMod _k L -повний.

Насправді ми можемо звести цю проблему до особливого випадку прем'єр-міністрів. Можна показати, що:

Нормальна форма. Клас coMod _k L складається з мов L виду L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , де L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  L і де p _j варіюється над простими коефіцієнтами k .

За теоремою залишків, будь-яке рішення системи рівнянь за модулем кожної з простих сил ділить k, породжує рішення тієї ж системи, mod k . Таким чином , якщо рішення систем лінійних рівнянь над міститься в Comod _{р J}  L , то це означає , що рішення систем рівнянь мод до міститься в Comod _K L . p t j$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

Існує стандартний алгоритм, описаний Маккензі та Куком для зменшення лінійної конгруенції по модулю як основна потужність для побудови навантажувального набору для його нульового простору (а саме для A x  =  y над заданим кільцем побудувати основу для простору нулів [  A  |  y  ] і побачити, чи існують якісь рішення з кінцевим коефіцієнтом -1); а згодом для зменшення побудови простих потужностей модулів просторів для побудови модульних просторів нульових просторів та максимуму множення матричних простих потужностей. Обидві останні задачі є проблемами, які є можливими для coMod _k L , за умови, що ви можете побудувати матриці, що стосуються.

Виявляється, матриці, що беруть участь у зменшенні Маккензі та Кука, самі можуть бути обчислені шляхом множення матриць та (головне) ділення на постійний множник. На щастя, для простих потужностей коефіцієнти залучених матриць можна обчислити на робочій стрічці, використовуючи оракул для coMod _p L -машин; і розподіл на константу може бути виконана в NC ¹ , що знову - таки можливо в Comod _р L . Так виходить, що вся проблема в кінцевому рахунку здійсненна в Comod _K L .

Докладні відомості див. У [ arxiv: 1202.3949 ].