Декомпозиція субмодулярної функції

Дано субмодульну функцію на де і роз'єднані, а . Тут і є субмодульними на і відповідно. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Тут невідомі і надається лише доступ до запиту значення . Тоді є політайм-алгоритм, який знаходить . Якщо для є кілька варіантів, будь-який з них повинен бути добре. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Деякі думки. Якщо ми зможемо знайти будь-які два елементи такі, що обидва або належать або належать до ми можемо їх об'єднати і продовжувати рекурсивно. Але незрозуміло, як здійснити такий крок. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
джерело

Ви хочете сказати, що де і є субмодулярними на і відповідно?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Чандра Чекурі

Так, я справді мав на увазі це. Дякую за вказівку на друкарську помилку, я її виправлю.

— Ashwinkumar BV

Я не впевнений, чи правильно сказане нижче, але ось ідея. Візьміть довільний елемент . Якщо , то не залежить від інших елементів , тому ми можемо вибрати і . В іншому випадку нехай є мінімальним таким, що . Тоді здавалося б, що має бути в одному розділі, і тому ми можемо скоротити набір в один елемент і повторити, якщо він строго менший за , інакше ми зробимо висновок, що потрібного розділу не існує.

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— Чандра Чекурі

Вирішили зробити коментар у відповідь.

— Чандра Чекурі

Візьміть довільний елемент . Якщо , то не залежить від інших елементів , тому ми можемо вибрати і . В іншому випадку нехай є мінімальним таким, що . Тоді повинен знаходитися в одному розділі. Якщо робимо висновок про відсутність потрібного розділу, інакше ми скорочуємо цей набір в один елемент і повторюємо. $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Чандра Чекурі
джерело