Регулярний графік високої області з "локальним рівномірним" загальним порядком на вузлах

Визначення

Нехай а , і - натуральні цілі числа (з ).d r g g > 2 r + $\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Нехай - простий, -регулярний, непрямий, кінцевий графік з обхватом не менше .d $G = (V,E)$$d$$g$

Нехай бути загальний порядок на .$\le$$V$

Для кожного нехай складається з вузлів, які знаходяться в межах відстані від in (найкоротший шлях від до будь-якого має не більше ребер), і - підграф з , індукований . Нагадаємо, що ми припускали, що має високий обхват; отже, - дерево. Нехай - обмеження на .V v ⊆ V r v G v u ∈ V v r G v G V V G G v v ≤ v ≤ V $v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$$V_v$

Ми говоримо , що ребро є хорошим , якщо і ізоморфні. Тобто є яка зберігає суміжності ( iff ) і порядку ( iff ). Інакше край поганий .$\{u,v\} \in E$( G v , ≤ v ) f : V u → V v { x , y } ∈ E { f ( x ) , f ( y ) } ∈ E x ≤ y f ( x ) ≤ f ( у $(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Ми говоримо, що є -добрий, якщо є принаймніхороші краї.ϵ ( 1 - ϵ ) | Е $(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Питання

Нехай . Чи існує -товарна пара для будь-якого і будь-яких і (з )?ϵ ( G , ≤ ) ϵ > 0 r g r ≪ $d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Зауваження:

• Я хотів би знати відповідь на загальне , але - перший нетривіальний випадок.d = $d$$d = 4$

• Розмір не має значення, доки він кінцевий. Мені не потрібна конструкція ; просто існування або неіснування достатньо.$G$$G$

Приклади

• Якщо , відповідь "так". Ми можемо просто взяти досить довгий цикл і замовити вузли по циклу. Біля краю є кілька поганих країв, що поєднує найбільший і найменший вузол, але всі інші ребра хороші: майже для всіх вузлів пара - це лише шлях з вузлами в зростаючому замовлення.v ( G v , ≤ v ) 2 r + $d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Якщо , відповідь "так". Просто візьміть звичайний графік з високим діапазоном.$r = 0$

• Якщо достатньо мало, відповідь "так" для будь-якого навіть . Просто візьміть -мірний графік сітки (з обернутими межами, щоб зробити його -регулярним), і впорядкуйте вузли лексикографічно за їх координатами. Знову у нас є деякі погані краї біля меж сітки, але ми можемо зробити кількість поганих ребер довільно невеликою.d ( d / 2 ) $g$$d$$(d/2)$$d$

• Якщо не потрібно бути кінцевим, відповідь "так" для будь-якого парного . Звичайне нескінченне дерево має загальний порядок, щоб усі краї були гарними.$G$$d$

• Якщо непарне, а досить великий, відповідь - «ні». По суті, Naor & Stockmeyer (1995) показують, що кожен вузол трапляється принаймні до одного недоброго краю.$d$$r$

Фон

(Цей розділ можна безпечно пропустити.)

Питання пов'язане з основами розподілених обчислень і, зокрема, з локальними алгоритмами .

Ми хотіли б зрозуміти наступне: в яких ситуаціях існування загального порядку допомагає порушувати локальну симетрію в розподіленій системі. Наочно, кожен вузол з має для отримання вихідного сигналу , який є функцією , тобто, в залежності від локальних околиць . Якщо край поганий, поблизу є доступна локальна інформація про порушення симетрії , і вузли і можуть давати різні результати; якщо край хороший, то вузли і локально не відрізняються і вони повинні давати однаковий вихід.G ( G v , ≤ v ) v e = { u , v } e u v u $v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Для багатьох проблем класичного графіка відомо, що загальний порядок не допомагає (набагато слабкіші відносини забезпечують по суті однакову кількість інформації, що порушує симетрію), але деякі випадки все ще відкриті - і загальний результат, який охоплює випадок усіх високо- Діаграми діапазону можуть бути проривом.

Це може бути безпрограшним питанням: незалежно від відповіді ми дізнаємось щось нове. Якщо відповідь "так", ми можемо отримати нові, більш сильні нижчі результати; якщо відповідь «ні», ми можемо спромогтися розробити більш швидкі алгоритми, які використовують інформацію про локальну симетрику, яка доступна в будь-якій .$(G,\le)$

Звичайно, в реальному світі у нас немає загального порядку на ; у нас є щось більше: кожен вузол має унікальну мітку . Але подолання розриву між загальним замовленням та унікальними ярликами зазвичай більш просте; часто аргумент, схожий на Рамзі, показує, що (в гіршому випадку) етикетки не дають будь-якої інформації, яка недоступна в загальному порядку.v ∈ V ℓ ( v ) ∈ $V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Детальніше дивіться у arXiv: 1201.6675 .