Скільки існує тавтологій?

З огляду на $m, n, k$ , скільки $k$ -DNF з змінними та застереженнями є тавтологією? (або скільки -CNF не задовольняє?)m $n$$m$$k$

Відповідь залежить від , m та n . Точні підрахунки, як правило, не відомі, але є "порогове" явище, яке для більшості параметрів k , m , n або задовольняє майже всі екземпляри k- SAT, або майже всі випадки не задовольняються. Наприклад, коли k = 3 , емпірично було помічено, що при m < 4,27 n , всі, крім o ( 1 ) частки 3-SAT екземплярів, задовольняються, а коли m > 4,27 n - всі, $k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$ фракція незадовільна. (Відомі також суворі докази меж.)$o(1)$

Один вихідний пункт - "Асимптотичний поріг порогу k-SAT" .

Амін Коджа-Оглан також зробив багато роботи над цими проблемами порогу задоволення.

Це розширений коментар, який доповнює відповідь Райана, в якому йдеться про пороги, коли кількість пропозицій стає достатньо великою, що екземпляр майже напевно не задовольняє. Можна також обчислити набагато більше порогових значень , де кількість статей сил нездійсненності , коли воно перевищує функцію .$n$

Зауважте, що деякі технічні проблеми потребують вирішення. Якщо повторні пропозиції підраховуються в , то m можна зробити так, як бажано, без зміни n . Це знищило б більшість відносин між m і n . Тож припустимо, що m - кількість чітких застережень. Нам потрібно визначитися з іншою деталлю, чи кодуються екземпляри таким чином, щоб порядок літералів в межах пункту чи порядок пропозицій в екземплярі мали значення. Припустимо, це не важливо, тому два екземпляри розглядаються як еквівалентні, якщо вони містять однакові пропозиції, а два пропозиції є рівнозначними, якщо вони містять однакові літерали. За допомогою цих припущень ми тепер можемо пов'язати кількість чітких застережень, з якими можна висловитись$m$$m$$n$$m$$n$$m$ змінних. Кожне застереження може мати кожну змінну, що виникає позитивно чи негативно, або взагалі не є, і тоді m ≤ 3 n .$n$$m\le 3^n$

Спочатку розглянемо SAT без обмеження на . Який найбільший m такий, що екземпляр задоволений? Без втрати загальності можна припустити, що присвоєння всім нулям є рішенням. Тоді є 3 n - 2 n різних застережень, що узгоджуються з цим рішенням, кожне з яких містить щонайменше один заперечений літерал. Звідси m ≤ 3 n - 2 n для будь-якого задоволеного екземпляра. Екземпляр, що складається з усіх пропозицій, кожен з яких містить щонайменше один заперечений літерал, має таку кількість застережень і задовольняється призначенням "нуль". Далі, за принципом голубого отвору будь-який екземпляр щонайменше з 3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ пункти незадовільно.$3^n-2^n+1$

Це дає різних підмножини таких пунктів, кожен з яких представляє окремий екземпляр, який задовольняється деяким завданням. Для порівняння, загальна кількість різних екземплярів становить 2 3 n .$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

Тепер модифікуючи вищевикладене для випадків, коли кожен пункт має максимум буквальних значень, є ∑ k i = 0 ($k$розрізняю такі пункти, і∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ пункти, в яких немає негативних літералів, томуm≤∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$для задоволених випадків, і будь-який більшийmє незадовільним. Тоді є2∑ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$випадки, задоволені будь-яким конкретним завданням, із загальної кількості2∑ k i = 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT екземпляри.$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$