Теорема про ієрархію відношень апроксимації?

Як відомо, проблеми з оптимізацією жорсткої NP можуть мати безліч різних коефіцієнтів наближення, починаючи від наявності PTAS і не бути приблизним в жодному факторі. Між ними у нас є різні константи, , тощо. $O(\log n)$ $poly(n)$

Що відомо про безліч можливих співвідношень? Чи можемо ми довести будь-яку «ієрархію наближення»? Формально для яких функцій та можна довести, що існує проблема зі співвідношенням наближення ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

У випадку, якщо , чи існує проблема з коефіцієнтом наближення точно ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Джеремі Гурвіц
джерело

Доказ такої теореми, ймовірно, буде нагадувати wisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Враховуючи проблему з відомим наближенням , ми робимо проблему якось легше, імовірно, використовуючи якусь форму прокладки, щоб отримати проблему з наближенням .

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Джеремі Гурвіц

O (\log n)

$O(\log n)$ і не є константами.

p o l y (n)

$poly(n)$

— Тайсон Вільямс

@TysonWilliams: Я думаю, він мав на увазі, що між PTAS і жодним наближенням є константи, log і poly (n) тощо

— Suresh Venkat

Чи не потрібно вам виключати тривіальних перетворень, де -приближення для мінімізації f негайно є наближенням для мінімізації ?

α

$\alpha$

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Суреш Венкат

Що стосується вашого останнього запитання щодо α = O (1), точне обмеження було показано для багатьох проблем, таких як упаковка у смітник, машинне планування (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

Відповіді:

Існує ієрархія наближення, основні відомі приклади: FPTAS EPTAS PTAS APX . Але для нерозбірливості також існує NPO-PB . $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Є безліч результатів щодо набору можливих співвідношень, виходячи з результатів, таких як цей:

$P||C_{max} \in$ EPTAS FPTAS, якщо тільки , $\backslash$ $P=NP$

для визначення проблем APX / NPO-PB.

Деякі посилання:

НА ПТАС: М. Чесаті та Л. Тревісан. Про ефективність схем наближення поліноміального часу, 1997.
Про NPOPB: В. Канн. Чіткі нижчі межі щодо наближеності деяких проблем щодо максимізації ПБ НПО, повних

Але я пропоную найкращим чином перевірити Зоопарк Складності, тому що в ньому є багато більше інформації та посилань на цих прикладах, навіть Вікіпедія

Крім того, як зазначено в коментарях, жорстке обмеження, коли , було показано для багатьох проблем, таких як упаковка у смітник, машинне планування (див. Iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html). $\alpha=O(1)$

— Гопі
джерело

Я все ще вважаю, що коментаря Суреша під питанням достатньо, щоб показати, що будь-яке співвідношення можливо. Якщо ви не впевнені в цьому, ви можете переглянути, наприклад, булеві проблеми задоволення обмеженнями (CSP).

Передумови: Нехай є предикатом арисності . Екземпляр Max-CSP (P) перевищує Булеві змінні . Буквал - це будь-яка змінна чи її заперечення. Екземпляр складається з обмежень, кожна з форми де є деякими літералами, а мета - знайти призначення змінних, що максимально збільшує частку задовольняючих обмежень. Наприклад, у маємо . Визначте як частка $P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ можливі входи, які задовольняють (для це дорівнює ). Тривіально наближати будь-який Max-CSP (P) фактором шляхом присвоєння випадкових значень змінним (а потім дерандімізувати за допомогою методу умовних очікувань). Зауважимо, що тут маємо умову, що коефіцієнти апроксимації є позитивними значеннями не більше 1. Присудок - стійкий до наближення (AR), якщо вирішити Max-CSP (P) краще NP, ніж коефіцієнт (тобто для будь-якого фіксованого ). $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

Зауважте, що будь-який предикат AR демонструє жорсткий поріг наближення . Відомо , що існують предикати зі як завгодно малим , які стійкі наближення, і залишаються , так що навіть якщо ви додасте до прийому входів . Наприклад, наступний документ показує один такий результат: $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Пер Остін та Йохан Хестад, випадково підтримувані незалежність та опір, журнал SIAM on Computing, vol. 40, ні. 1, С. 1-27, 2011.

Отже, це стосується всіх раціональних порогів, знаменником яких є сила двох. Для інших порогів зауважте, що якщо достатньо показати, що для кожного існує для якого існує предикат AR з (оскільки це завжди можливо додайте фіктивні змінні та обмеження їх, які тривільно задовольняються, щоб збільшити поріг наближення). $\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— Махді Черагчі
джерело