Який клас складності для квантових підпрограм, які приймають в якості вхідних довільних квантових станів?

Клас складності BQP відповідає квантовим підпрограмм поліноміального часу, що приймають класичні входи і виплюнують імовірнісний класичний вихід. Квантова порада модифікує те, щоб включати копії деяких заздалегідь визначених квантових порад, але, як правило, з класичними введеннями. Який клас складності для квантових підпрограм поліноміальних часових розробок, які приймають довільні квантові стани як вхідні дані, з однією копією лише через відсутність клонування, і випльовують квантові стани як вихід?

Я думаю, що те, що ви хочете знати, - це квантові аналоги класів проблем функцій. (Дякую Петру Шорю за те, що він вказав це стисле опис у коментарі.)

Абстрактний процес, який приймає квантовий стан фіксованого розміру як вхідний і створює квантовий стан фіксованого розміру як вихід, називається квантовим каналом . У вашій ситуації ми не хочемо фіксувати вхідний розмір або розмір виходу, і тому ми, природно, вважаємо сімейство квантових каналів квантовим аналогом функцій від класичних струн до класичних рядків.

Однозначно можна визначити клас сімейств квантових каналів, які можуть бути реалізовані / наближені родами ефективних квантових схем (з відповідними поняттями ефективності, рівномірності та наближення). Я не знаю, чи має цей клас якусь стандартну назву (але дивіться коментар Петра Шоря для пропозиції).

На мою думку, класи квантових каналів не часто вивчаються, оскільки одна з причин розглянути класи складності полягає в тому, щоб порівняти потужності різних обчислювальних моделей, а класи квантових каналів не можуть бути використані для порівняння класичної та квантової обчислювальної моделей. Однак визначити та говорити про такі заняття цілком чудово, якщо про них можна довести щось цікаве.

Щось, що може вас зацікавити, - це поняття квантового оракула, введене Ааронсоном та Купербергом в arXiv: quant-ph / 0604056 . Цитуючи їх статті:

Так само, як класичний оракул моделює підпрограму, до якої алгоритм має доступ до чорної скриньки, так і квантовий оракул моделює квантову підпрограму, яка може приймати квантовий вхід і виробляти квантовий вихід.

Це не відповідає безпосередньо на ваше запитання щодо визначення класу складності, який представляє описану вами модель. Однак поняття квантового оракула має актуальність у теорії складності: у своїй роботі Ааронсон та Куперберг використовують квантовий оракул для розділення між QMA та QCMA .

Я думаю, що клас складності для вирішення проблем , беручи до уваги квантові стани, мабуть, має неміцне визначення. Що стосується проблем з обіцянками, або визначення буде чутливим до чисельного вибору, або воно по суті вирішить класичні проблеми рішення / обіцянки, закодовані в деякій ефективно розширюваній основі квантових станів.

$\Phi_n: \mathrm L(\mathcal H_2^{\otimes n}) \to \mathrm L(\mathcal H_2)$-квітні стани до одиночних кубітних станів. Звичайно, квантовий контур є ідеально хорошим каналом; якщо ми будемо говорити про виконання конкретних каналів, які обчислюються обчислювально, ми можемо просто говорити про рівномірні сімейства квантових схем (або, з цього приводу, будь-який єдиний спосіб реалізації карти CPTP). На користь, схема повинна закінчуватися стандартним базовим вимірюванням, якщо ми хочемо зберегти семантику вирішення чогось із обмеженою ймовірністю.

$\mathcal L$$\rho'$$\rho \in \mathcal L$$\rho$$\rho'$$\mathcal L$

$\mathcal L$$\mathcal L$(1), тобто ймовірність, яка наближається до визначеності в міру збільшення розміру вхідних даних, - і аналогічно, ймовірність відхилення будь-якого стану, яке звичайний спосіб прийняття рішення може відкинути, також має зближуватися до нуля.

Тоді виникли б проблеми з квантовою обіцянкою, які зможе розрізнити схема QBQP (для входів розміру n ).

• $\mathcal H_2^{\otimes n}$
• Якщо НЕ є випадки, суміші чистих станів, які є ортогональними для цього підпростору (або, принаймні, всі ортодоповнюючі стани, дозволені обіцянкою).

$\mathcal L$$\mathcal L^\bot$ проблема вирішення чи обіцянки, закодована в квантових станах, з помилкою, що переходить у нуль.

Виправте мене, якщо я помиляюся, але мені здається, що вас цікавить клас BQP / qpoly . Визначення з Zoo Complexity Zoo: "Клас задач, що вирішується машиною BQP, яка отримує квантовий стан ψn як пораду, що залежить лише від вхідної довжини n."

Якщо це один, на веб-сайті ви можете знайти зв’язки цього класу з іншими класами складності. Якщо це не так, цей веб-сайт також містить інформацію про те, що відбувається з BQP, коли ви використовуєте різні типи порад.

Існує також відносно недавня робота про " характеристику квантових порад ", де ви можете знайти таку ієрархію:

Я не знаю, скільки цієї інформації вже є в зоопарку Complexity. Якщо вас цікавить стаття, автори також поговорили про це.

Редагувати Цікаво, чи під "довільним" ви маєте на увазі стан, породжене більш загальним квантовим процесом, що "унітарна еволюція, що діє на основі обчислень, ставиться" як дисипативна еволюція. У цьому конкретному останньому випадку у вас немає більшої обчислювальної потужності, ніж BQP, як показано в цій статті .

Ось кілька посилань на квантові мови, тобто проблеми рішення з квантовими введеннями. Напевно, ще багато.

1. Квантова NP та квантова ієрархія - Томоукі Ямакамі
2. Про складність квантових мов -Ельхам Кашефі, Кароліна Моура Алвеш
3. Ефективний тест для станів продукту з додатками для квантових ігор Мерлін-Артур -Aram Harrow, Ashley Montanaro, DOI: 10.1109 / FOCS.2010.66, Анотація: arxiv.org/abs/1001.0017v3