Обчислення функції Mobius

13

Функція Мобіуса визначається як , якщо має квадратний простий коефіцієнт, а якщо всі праймери різні. Чи можна обчислити не обчислюючи просту факторизацію ? $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— Крейг Файнштейн
джерело

6

Я думаю, що він просто запитує, чи існує спосіб обчислити який, як відомо, також не надає факторизації.

μ (n)

$\mu(n)$

— Суреш Венкат

2

@Kaveh, я не кажу тут про складність обчислювальної техніки. Суреш правильний у своєму трактуванні. Це аналогічно визначенню, що число складене без визначення його факторизації. Чи можна щось подібне зробити і для функції Mobius?

— Крейг Файнштейн

1

Я не думаю, що це справжнє питання. Я думав , що це може бути корисно , щоб нагадати вам , що на cstheory ми маємо сувору політику в відношенні колінчастих дружніх тим в разі , якщо ви намагаєтеся рекламувати свої ідеї в них .

— Каве

3

@Kaveh, я задав серйозне запитання, яке отримало 4 великих пальця. Звичайно, моя відповідь отримала 8 великих пальців, але це життя. Я не знав своєї відповіді на питання до сьогодні, тому я опублікував відповідь. Мені це здається, ніби ти намагаєшся мене відвернути, стверджуючи, що я маю тут певний тип мотивів. Я можу запевнити, що у мене немає іншого мотиву, окрім як отримати відповідь на запитання.

— Крейг Файнштейн

5

@Kaveh: ОП - це добре відомий трисектор на багатьох форумах. Це означає, що ви коли-небудь бачили, щоб він був кимось грубим? Я ні. Він просто неправильно розуміє, що означає довести нижчі межі. Питання здається мені темою. Є приказка: "Навіть зупинений годинник є правильним двічі на день".

— Аарон Стерлінг

34

Один невідповідь на ваше запитання полягає в тому, що саме SQUARE FREE (є квадратним числом вільне) саме по собі не відомо, що воно знаходиться в P, а обчислення функції Мебіуса вирішило б цю проблему (оскільки квадратне вільне число має ). $\mu(n) \neq 0$

— Суреш Венкат
джерело

7

чи знаєте ви будь-які документи, які обговорюють складність свободи квадрата? все, що я міг би знайти, це це: dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE , що дає менші межі формули. дивлячись на mathoverflow.net/questions/16098/… , я думаю, що не багато відомо про те, чи можливо це вдасться зменшити факторинг до квадратної вільності.

— Сашо Ніколов

15

Для іншої невідповіді вас може зацікавити здогадка Сарнака (див., Наприклад, http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http: //rjlipton.wordpress .com / 2011/02/23 / функція глибини мобіуса / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-function ), яка в основному стверджує, що функція Мебіуса не корелює з жодною "простою" булевою функцією. Нерозумно очікувати, що це має відбуватися, коли "просте" трактується як поліном-час. Нам відомо, що гіпотеза стосується функцій (доведено Бен Гріном ) та всіх монотонних функцій (доведено Жаном Бургеном ). $\mathrm{AC}^0$

— Еміль Єржабек
джерело

4

Я думаю, це книга Ben Green: arxiv.org/abs/1103.4991

— Suresh Venkat

0

Однією з рекурсивних формул, що стосуються значень мобільної функції, є

\sum_{м \leq н} ⌊ \frac{н}{м} ⌋ мк (м) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$ Але для того, щоб знайти

μ (n)

$\mu(n)$ нам потрібно знати мобільні значення для

m < n

$m < n$ . Звідси

мк (н) = 1 - \sum_{м < н} ⌊ \frac{н}{м} ⌋ мк (м) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$ Тут ми ділимо

n

$n$ на менші додатні цілі числа

m < n

$m<n$ , нам не потрібно знати, чи є вони чинниками

n

$n$ коли

m

$m$ має квадратний множник! (

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$ ), Але все ж ми мусимо знати фактори

m

$m$ щоб зробити висновок про це !! Звідси маємо:

\begin{aligned} мк (н) = & 1 - \sum_{а_{1} < н} ⌊ \frac{н}{а_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{а_{1} < н} ⌊ \frac{н}{а_{1}} ⌋ \sum_{а_{2} < а_{1}} ⌊ \frac{а_{1}}{а_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{а_{1} < н} ⌊ \frac{н}{а_{1}} ⌋ \sum_{а_{2} < а_{1}} ⌊ \frac{а_{1}}{а_{2}} ⌋ \sum_{а_{3} < а_{2}} ⌊ \frac{а_{2}}{а_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ Дивіться цю статтю:https://projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829для підтвердження формули.

— Хунде Еба
джерело

Мені подобається ваша відповідь. На жаль, у мене немає доступу до статті. Я б обговорював з вами питання про знання факторів n: Припустимо,

. Використовуючи цю формулу, поділяючи на 5, використовуючи довгий поділ, ви виявляєте, що 24 рази 5 дорівнює 120, а решта 0, тому в процесі обчислення найбільшої цілочисельної функції 120/5 виходить, що 5 - коефіцієнт 120, навіть хоча цього факту не потрібно знати, щоб формула працювала.

n = 120

$n=120$

— Крейг Файнштейн

Перевірте відредаговану версію !! @Craig

— Hunde

-22

$n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

мк (н) = мк (p_{1} \dots p_{к}) = мк (p_{1}) \dots мк (p_{к}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

Ось аналогія: щоб знати, чи є непарна або парна кількість квасолі в банку, треба порахувати желе квасолі. Ось чому ви повинні обчислити просту факторизацію числа, щоб обчислити його функцію Мобіуса, коли вона не ділиться на квадрат. Але для того, щоб знати, що в банку є більше однієї квасолі, не потрібно оглядати жодну з квасолі в банку. Можна просто похитнути банку і почути, що є більше одного квасолі. Ось чому вам не потрібно рахувати число, щоб знати, що воно складене. Алгоритми, такі як Маленька теорема Ферма, дозволяють "струшувати число вгору", щоб знати, що воно складене.

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— Крейг Файнштейн
джерело

6

@Craig Це все ще неправильно. Ви можете використовувати той самий (помилковий) аргумент для складеної проблеми тестування, як сказав Пітер Шор. Ви в основному даєте алгоритм для своєї проблеми і заявляєте, що це єдиний спосіб продовжити. Показати, що очевидний алгоритм найкращий для вирішення проблеми - одна з найбільших проблем в теорії складності.

— Майкл Блондін

6

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

14

Re "Для того, щоб знати, чи є непарна або парна кількість квасолі в банку, треба порахувати желе квасолі". - навіть це неправда. Ви можете витягнути їх попарно (один для мене один для вас ...), не рахуючи їх фактично. Тоді, коли у вас не вистачає пар, щоб тягнути, у вас є або нуль, або один, і ви знаєте паритет.

— Девід Еппштейн

12

M

$M$

6

Крейг, не розбиваючи його на прайми , так, обчислюючи цілочисельний квадратний корінь (як відомо, обчислюється в поліноміальний час на відміну від факторингу), це 69 ^ 2. Мені не доводиться брати до уваги 69. Ваш аргумент в зернах говорить про те, що факторинг є обов'язковим, оскільки вам потрібно переглядати кожне желе, щоб перевірити, чи виникає кожен аромат рівномірно.

— sdcvvc