Визначення показника множення матриці-множення

15

Розмовно, визначення показника множення матриці - найменше значення, для якого існує відомий алгоритм множення матриці . Це не є прийнятним як формальне математичне визначення, тому я припускаю, що технічне визначення є чимось подібним до мінімального за всіма таким чином, що існує алгоритм множення матриць в . $\omega$ $n^{\omega}$ $t$ $n^t$

У цьому випадку ми не можемо сказати, що існує алгоритм множення матриць в або навіть , лише те, що для всіх існує алгоритм в . Однак часто документи та результати, які використовують матричне множення, повідомляють про свою вартість як просто . $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $\epsilon > 0$ $n^{\omega + \epsilon}$ $O(n^{\omega})$

Чи існує якесь альтернативне визначення яке дозволяє це використання? Чи є якісь результати, які гарантують, що алгоритм часу або повинен існувати? Або використання просто неохайне? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— Девід Харріс
джерело

2

Якщо ви просто хочете використовувати множення матриці як чорну скриньку, найпростіший спосіб - сказати "Нехай буде такою, що ми можемо множити -матриць за допомогою арифметичних операцій ". Звичайно, не є показником множення матриці тоді, але може бути довільно близьким. Якщо ви хочете вказати показник вашого остаточного запуску у десятковому представленні, наразі вам доведеться все-таки заокруглювати, оскільки всі нетривіальні оцінки для які я знаю, це або нераціональні числа, або нескінченні послідовності.

ω

$\omega$

n \times n

$n \times n$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Маркус Блазер

2

як правило, визначається як мінімальний за всіма значеннями

для

переходить до

таким чином, існуєалгоритм часу

, який помножує дві

матриць (де час - кількість додавань, множень і ділень у нижнє поле). Це також означає, що технічно ми завжди повинні писати

але це стає безладним, тому, коли ви бачите

ви повинні думати

ω

$\omega$

k

$k$

n

$n$

\infty

$\infty$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n \times n

$n\times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

де

- час виконання алгоритму множення матриці.

O (M (n))

$O(M(n))$

M (n)

$M(n)$

— virgi

20

Експонент множення матриці, який є , не гарантує існування алгоритму, який працює в часі , а лише те, що для кожного існує алгоритм, який працює в . Дійсно, якщо ви можете знайти алгоритм, який працює в часі , то це показує, що . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

Офіційне визначення ви можете знайти в книзі «Алгебраїчна теорія складності» Пітера Бюргіссера, Майкла Клаузена, Аміна Шоклаллахі.

— MCH
джерело

7

Незначний коментар, який занадто довгий, щоб бути коментарем:

Іноді, коли у вас виникає проблема, для якої існує алгоритм із часом виконання для кожного , існує алгоритм із часом виконання . $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

Наприклад, іноді ви отримуєте алгоритми, які йдуть як для деякої швидко зростаючої функції (як ). Якщо встановити на (скажімо) , тоді буде o (1). У прикладі з є , ви можете вибрати $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ щоб , що дає , який є O (1). Отже, кінцевий час виконання цього алгоритму буде , оскільки також . $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Робін Котарі
джерело

Я уявляю, що алгоритм Копперсміта-Винограда потрапляє до цієї категорії?

— Девід Харріс

2

@DavidHarris: Не знаю про це. Можливо, хтось, хто розуміє алгоритм, міг би пролити на це світло. Я просто хотів сказати, що часто

не так погано, як виглядає.

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— Робін Котарі

5

Загальновідомий результат Копперсміта та Вінограда, що -час не може бути реалізований жодним єдиним алгоритмом. Але я читав, що вони обмежилися алгоритмами, заснованими на Страссена як білінеарні ідентичності, тому я не знаю точно, оскільки папір стоїть за платною стіною. $O(n^{\omega})$

— Дієго де Естрада
джерело

3

Я не згоден з вашим твердженням у питанні, що недостатньо чітко визначений «найменшим значенням, для якого існує відомий алгоритм множення матриці ». Коли люди використовують цю константу, це тому, що їх алгоритм спирається на матричне множення, а за складністю вони означають, що "оптимальна складність нашого алгоритму задається оптимальним алгоритмом для матричного множення". $\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

Я не кажу, що не можна визначити інакше (наприклад, сказати, що - найкраща досяжна складність). $\omega$ $\omega$

Btw, найвідоміша верхня межа для множення матриці щойно була покращена до якщо я не помиляюся. $2.3737$

— Бруно
джерело

3

Я не бачу, як знання людини можуть бути частиною математичного визначення

— Девід Гарріс

2

Нещодавній досвід показує, що набагато простіше оцінити всі алгоритми, ніж всі алгоритми, відомі людством ;-)

— Маркус Бласер