Здійснення розкладу дерев мінімальної ширини нахилом у поліноміальний час

Як добре відомо, декомпозиція дерева графа складається з дерева T з пов'язаним мішком T v ⊆ V ( G ) для кожної вершини v ∈ V ( T ) , яке задовольняє наступним умовам:$G$$T$$T_v \subseteq V(G)$$v \in V(T)$

1. Кожна вершина відбувається в деякому мішку T .$G$$T$
2. Для кожного краю є мішок, що містить обидві кінцеві точки краю.$G$
3. Для кожної вершини , мішки , що містять V викликають чіткий поддерево T .$v \in V(G)$$v$$T$

Ми також можемо вимагати від нашого розкладу наступну умову, звану худою :

• Для кожної пари мішків , Т Ь з Т , якщо A ⊆ T в і B ⊆ T Ь з | А | = | Б | = k , то або a) в G є k вершинно-роз'єднані шляхи A - B , або b) дерево T містить ребро p q на шляху від вузла a до вузла b таким, що | V $T_a$$T_b$$T$$A \subseteq T_a$$B \subseteq T_b$$|A| = |B| = k$$k$$A-B$$G$$T$$pq$$a$$b$ і безліч V ( Т р ) ∩ V ( Т д ) перетинає все - B шляху в G .$|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$$V(T_p) \cap V(T_q)$$A-B$$G$

Робін Томас показав, що завжди існує декомпозиція дерев мінімальної ширини, яка також є худорлявою, і більш прості докази цього факту надали кілька авторів, наприклад, Патрік Беленбаум та Рейнхард Дістель .

Що мене цікавить , полягає в наступний: для графа і мінімальною шириною розкладання дерева G , ми можемо знайти мінімальну ширину пісного розкладання деревовидної G за поліноміальний час?$G$$G$$G$

Два згадані докази не дають такої ефективної конструктивності. У роботі Белленбаума та Дістеля зазначається, що "ще одне (більш конструктивне) коротке доказ теореми Томаса було дано в П. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000." На жаль, мені не вдалося знайти рукопис в Інтернеті, і моя німецька не така вже й велика.

Ось формальна причина, чому проблема не вирішується у багато разів, якщо P = NP. Ми знаємо, що пошук ширини даного графа є NP-Hard. Враховуючи графік ми можемо додати неперервну кліку розміром V ( G ) + 1, щоб створити новий графік G ' . A Мінімальна шириною дерева-розкладання G ' може бути отримано наступним чином : він має два вузли з одного мішком , що містить всі вузли кліки , а інші , що містять всі вузли G . Тепер, якщо зробити цей розклад деревним декомпозиціям, знадобиться знайти розклад худого дерева оригінального графіка G, який би, як побічний продукт, дав би ширину $G$$V(G)+1$$G'$$G'$$G$$G$$G$ .