Нерівність типу Черноффа для парних незалежних випадкових величин

Нерівності типу Чорноффа використовуються для того, щоб показати, що ймовірність того, що сума незалежних випадкових величин значно відхиляється від очікуваного значення, експоненціально мала в очікуваному значенні та відхиленні. Чи існує нерівність типу Чернова для будь-якої суми парних незалежних випадкових величин? Іншими словами, чи є результат, який показує таке: ймовірність того, що сума парних незалежних випадкових величин відхиляється від очікуваного значення, експоненціально мала в очікуваному значенні та відхиленні?

Парної незалежності недостатньо для типу Чорноффа, пов'язаного з очікуванням.

Це випливає з того факту , що існує -розмір вибіркових просторів по п 0-1 випадкових величин, де всі змінні є попарно незалежні, і кожна змінна є рівномірним (це 1 з ймовірністю 1 / 2 ). Тож очікуване значення їх суми дорівнює n / 2 . Але оскільки у просторі вибірки можливі лише p o l y ( n ) можливі події, навіть ймовірність того, що сума є саме певним значенням v, є щонайменше 1 / p $poly(n)$$n$$1$$1/2$$n/2$$poly(n)$$v$ (отже, не може бути максимум 1 / e x p ( n ) ).$1/poly(n)$$1/exp(n)$

Для посилання на цю прикладну побудову простору див. Сторінки 11-12 цього опитування .

Якщо у вас є попарна незалежність, то ви можете зв'язати дисперсію суми і, таким чином, отримати концентрацію, пов'язану з використанням нерівності Чебишева.

У книзі Дубхасі-Панконесі є всілякі результати такого роду . Однією з стандартних посилань такого роду є робота Шмідта, Зігеля та Шрінівасана 1993 року під назвою "Досить належним чином)" Межі Черноффа-Гоффдінга для заявок з обмеженою незалежністю "