Складність спілкування з арбітром

Припустимо, рамки складності спілкування, де у нас є два гравці A (воші) та B (ob) та R (eferee). A і B не спілкуються безпосередньо один з одним. У кожному раунді спілкування кожен з них надсилає повідомлення ($m_A$, $m_B$) до R. R обчислює дві функції $f_A(m_A,m_B)$ і $f_B(m_A,m_B)$і надсилає їм результати. Функції закріплені. Ідея полягає в тому, що спілкування між гравцями обмежена. Крім того, арбітр може трохи обробити повідомлення.

Приклад:

A і B надсилають два (довільно великі) числа R, R перевіряє, яке з них більше, і повідомляє гравців.

У цьому рамках ми можемо розробити простий протокол, який легко обчислює наступну функцію за допомогою одного кола. А і В відправляють$x$ і $y$ до R, R повертає відповідь на них, і вони виводять відповідь.

Очевидно, що це не цікавий випадок, оскільки функція, яку ми обчислюємо, така ж, як і функції арбітра. Більш цікавий випадок, коли ми маємо фіксовану лінійну нерівність$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ а значення змінних розподіляються між гравцями (A має $\vec{x}$ і B має $\vec{y}$). Завдання - вирішити, чи нерівність правильна. Протокол у цьому випадку полягає в тому, що гравці обчислюють свою частину і потім відправляють їх арбітру.

Питання:

Чи вивчена ця різновид комунікації? Якщо так, то де я можу дізнатися більше про це?

Примітка 1: на сторінці 49 Кушилевіц і Нісан згадують рамки, які включають арбітра, але здаються дуже різними від того, про що я прошу.

Примітка 2: Я не впевнений, чи викликати R судді правильну річ, будь ласка, прокоментуйте, якщо є краща пропозиція.

Я впевнений, що ви знаєте наступний документ, але я посилаюся на нього, тому що інші читачі можуть бути зацікавлені: Інтерполяція від ігор

Ця стаття є спробою використовувати рамку складності зв'язку, щоб показати нижню межу для різання площин. Протокол використовується для створення інтерполянтної схеми для незадовільного CNF:

Гравець $A$ отримує вхід $a$ і $y^a$, гравець $B$ отримує $b$ і $z^b$. Якщо в різанні площин є неглибоке деревоподібне доказ, то два гравці мають протокол зв'язку таким, що

• будь-яке спілкування опосередковується арбітром, що допомагає оцінити нерівності у доказуванні;
• кількість спілкування невелика (дерево неглибоке);
• обидва гравці або вирішують, який з них $A$ або $B$ підроблений;
• вони знаходять позицію $i$ у якому $a_i \not= b_i$.

Арбітр перетворюється на імовірнісний протокол нерівностей. Таким чином можна перетворити нижню межу для деревовидних імовірнісних протоколів у рамці складності зв'язку в нижню межу для доказів деревоподібних площин різання.

Якби у нас була нижня межа для протоколу зв'язку форми ПЛС, ми отримали б нижню межу для доказів, подібних до різання площин.

Зауважте, що ця методика не залежить від фактичних правил виведення площин різання. Якщо ми вважаємо, що умовиводи є (1) позитивним поєднанням (2) ціле ділення з підлогою, ми можемо побудувати монотонну інтерполянтну схему, використовуючи аргумент Павла Пудляка .

Лише кілька зауважень. По-перше, я не можу зовсім зрозуміти, навіщо нам взагалі потрібний арбітр. Якщо його / її функції відомі гравцям, чому тоді вони не можуть просто імітувати арбітра? Аліса посилає$m_A$ до Боба, він (не бачачи $m_A$) обчислює $m_B$, після цього він проводить обчислення $f(m_A,m_B)$і повідомляє результат Алісі. Можливо, ви припускаєте це$f_A$це НЕ відомо Бобу, і$f_B$ до Аліси?

По-друге, протоколи, пов'язані з лінійними нерівностями, дійсно цікаві в контексті вирізання площинних доказів. У цьому випадку достатньо навіть розглянути протоколи, де форма повідомлень дуже обмежена : можуть бути передані лише значення деяких лінійних комбінацій вхідних змінних.

Якщо бути більш точним, припустимо, нам дана система лінійних нерівностей з цілими коефіцієнтами. Ми знаємо, що в системі немає$0$-$1$рішення. Змінні так чи інакше розбиваються між гравцями (в п’ятдесят п’ятдесят); це сценарій "найгіршого поділу": противник може вибрати "найгірший" розділ. Дано a$0$-$1$рядок, мета гравців - знайти незадовільну нерівність. Тобто відповідь зараз - це не один біт, а назва однієї нерівності нашої системи. (Це комунікаційна гра типу Karchmer-Wigderson.)

Тепер розглянемо такі обмежені протоколи для такої гри: (i) арбітри функціонують, якщо так $f(\alpha,\beta)=1$ iff $\alpha \leq \beta$, (ii) повідомлення гравців обмежуються лінійними : у кожному раунді Аліса повинна надіслати повідомлення форми$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$, а Боб повідомлення форми $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$.

Impagliazzo, Pitassi та Urquhart (1994) зауважили наступне: Якщо всі коефіцієнти, які використовуються в доказів площини різання, є многочленними в кількості змінних, і якщо ця гра потребує$t$ біт комунікації, то кожне деревоподібне доказ незадовільності даної системи повинне виробляти $\exp(t/\log n)$нерівності. Потім вони використовували відомі нижчі межі складності зв'язку, щоб дати чітку систему, що вимагає доказів експоненціального розміру. Недоліком цього результату є те, що система дуже штучна , вона відповідає жодній "реальній" проблемі оптимізації. Тому цікавим питанням є створення нижньої межі "справжньої" проблеми оптимізації.

Однією з таких проблем є проблема незалежного набору для графіків. Дано графік $G=(V,E)$ ми можемо асоціюватися з кожною вершиною $u$ змінна $x_u$ і розглянемо систему нерівностей, що складається з нерівності $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$, і всі нерівності $x_u+x_v\leq 1$ для всіх ребер $uv$ з $G$. Оскільки кожен$0$-$1$ рішення для підсистеми цих останніх нерівностей дає самостійну множину $G$, вся система не має нульових рішень. Яка складність спілкування ігор для таких систем?

Якщо наш графік $=(L\cup R,E)$ є двостороннім, тоді закономірно (для супротивника) ділити змінні відповідно до його частин. У цьому випадку Аліса отримує підмножину$A\subseteq L$, Боб підмножина $B\subseteq R$ з обіцянкою, що $|A\cup B|>\alpha(G)$. Мета - знайти перевагу між $A$ і $B$. Ось$\alpha(G)$ є "двостороннім" номером незалежності: максимальний розмір незалежного набору, який не лежить повністю $L$ або в $R$. Одна з моїх улюблених проблем: Доведіть це$n\times n$ графіки, що вимагають $\omega(\log^2 n)$біти спілкування існують .

@Kaveh: Вибачте за "відповідь" на ваше запитання.