Обмежується на моменти наближення частоти

Нехай 1 , 2 , ... , м послідовність цілих чисел , де кожна J ∈ { 1 , 2 , ... , п } . Для i ∈ { 1 , 2 , … , n } , нехай m i = | { j : a j = i } | . До - й момент частоти визначається як$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

У своїй відомій роботі Простірну складність наближення частотних моментів , Алон та ін. дайте алгоритм потокової передачі, який наближає використовуючи приблизно O ( n 1 - $F_k$простір. Вони також використовують методи складності зв'язку для отримання нижньої межіΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$приk>5. Дляk=0,1,2вони забезпечують більш-менш відповідні верхню та нижню межі.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Чи відбулися вдосконалення цих меж з тих пір, і чи було досягнуто прогресу для ?$k = 3,4,5$

Прогрес був неабиякий. На конкретну задачу існує відповідність верхньої та нижньої меж n 1 - 2 / k для k > 2 . Верхні межі приходять від цієї статті Індик і Вудрафф (який з'явився в STOC 2005) і нижні межі через рамку інформаційної складності, в зв'язку з Баром-Йосефом і ін і Chakrabarti і ін .$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

При k <= 2

1) k = 0, обмеження дорівнює від http://people.seas.harvard.edu/~minilek/papers/f0.pdf .$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, я вважаю, ескіз AMS з їх паперу є оптимальним

Щось пов’язане.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$