Чи триагуляції Делоне на сфері максимально збільшують мінімальний кут?

Трикутники Делона в площині максимізують мінімальний кут у трикутнику. Чи те ж саме справедливо і для триангуляції точок Делоне на кулі? (тут «кут» - локальний кут у сусідстві навколо вершини на вершині).

Натхненний цим питанням на Math.SE.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Суреш Венкат
джерело

Безумовно, властивість може містити набір, локалізований на невеликій, плоскій області сфери, оскільки це багатоманітність. Справжнє питання полягав би в тому, чи жертвується власність, коли точки поширюються по всій сфері. Я гадаю, що для того, щоб триангуляція Делоне була в першу чергу, вам знадобиться жирових трикутників навіть більше, ніж у випадку Евкліда, тож власність буде триматися.

— Жозефіна Моллер

Чи не випливає це тоді з того, що стереографічна проекція із родової точки на кулі відображає кола до кіл і зберігає кути між кривими, що перетинаються (~ ребрами) через відповідність? Або я щось пропускаю?

— хтось

@someone Так, це слід зробити. Принаймні більшість із цього. Можливо, є причіпка-дві, але це була б центральна ідея. Мені це було цікаво. Я не усвідомлював, що стереографічне відображення є відповідним.

— Джозефіна Моллер

@SureshVenkat Тепер, коли ви згадуєте про гіперболічний простір, можливо, у мене інтуїція відстала. У гіперболічному просторі вам доведеться враховувати той факт, що існують "незаконні" циркулярні кола (тобто гіперцикли та гороцикли). Перебуваючи в сферичному просторі, ви цього не робите; ви завжди можете знайти кола, які проходять через три точки.

— Джозефіна Моллер

Я не думаю, що це працює. Ви хочете переконатися, що проекція займає великі кола до ліній (оскільки ви вимірюєте кути між ребрами трикутників, які є великими колами / прямими). Я не думаю, що ти не можеш цього зробити зі стереографічною проекцією. Це можна зробити лише проекцією від точки в центрі сфери, яка відводить кілька кіл до еліпсів.

— Пітер Шор

ПЕРШИЙ АРГУМЕНТ: Це була моя перша відповідь. Зауважте, що цей аргумент неправильний. Дивіться мій другий аргумент нижче.

Я не думаю, що це правда. Причина того, що вона працює в площині, полягає в тому, що в колі вписаний кут, вкладений хордою, становить половину відповідного центрального кута. Таким чином, якщо у нас є трикутник з малим кутом, будь-які точки, які зробили би більший кут із протилежним краєм, знаходяться всередині порожнього кола Делоне, і тому не є однією з точок у конфігурації, у якій ми знаходимо триангуляцію.

Тепер, припустимо, у вас є сфера триангуляції Делоне на сфері. Поставте крапку в центрі сфери і спроектуйте всіх піонтів на площину. Краї трикутників (великі кружки на кулі) всі відведені до відрізків ліній. Але кола, що дають властивість порожній кулі, приймаються до еліпсів, і тому, якщо є точка поза проектованим еліпсом, але всередині окружності трикутника, ця точка зробить більший кут з ребром.

Редагувати:

Почекай хвилинку. Ця відповідь є абсолютно неправильною, оскільки центральна проекція не зберігає кутів. Я все ще думаю, що гіпотеза неправильна, тому що я маю набагато складніший аргумент, що теорема про вписані кути не належить до сфери. Ось аргумент:

ДРУГИЙ АРГУМЕНТ:

Причиною цього є площина в тому, що вписаний кутом, вкладений хордою, становить половину відповідного центрального кута. Це справедливо тому, що на наведеній нижче схемі ми маємо

С Y Х_{2} = \frac{1}{2} (π - Х_{2} С Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$ і

С Y Х_{1} = \frac{1}{2} (π - Х_{1} С Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$ Віднімаючи, отримуємо

Х_{1} Y Х_{2} = \frac{1}{2} Х_{1} С Х_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

малюнок геометрії

Тепер у сферичній геометрії ми отримуємо

С Y Х_{2} = \frac{1}{2} (π - Х_{2} С Y + А (Х_{2} С Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$ і

С Y Х_{1} = \frac{1}{2} (π - Х_{1} С Y + А (Х_{1} С Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$ де

A (X Y Z)

$A(XYZ)$ означає площу трикутника XYZ. Віднімаючи, отримуємо

Х_{1} Y Х_{2} = \frac{1}{2} (Х_{1} С Х_{2} + А (Х_{2} С Y) - А (Х_{1} С Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

Для локусів точок $Y$ роблячи постійний кут $X_1YX_2$ щоб бути колом, нам знадобиться різниця областей $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ залежить лише від довжини дуги $X_1X_2$ . Однак це несумісне зі спостереженням, яке $A(XCY)$ є $0$ для $X$ діаметрально протилежні $Y$ і для $X=Y$ , але зростає до деякого максимального розміру між ними.

Таким чином, локус точок $Y$ з постійним кутом $X_1YX_2$ - це не коло. Це означає, що для якогось трикутника $X_1YX_2$ ми можемо знайти крапку $Y'$ за межами окружності $X_1YX_2$ тому кут $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$ . Потім ми можемо використати це для побудови контрприкладу до гіпотези, що триангуляції Делоне на сфері максимально збільшують мінімальний кут.

— Петро Шор
джерело

Я не очікував, що це питання буде таким складним :). з нетерпінням чекаю фотографії.

— Суреш Венкат