Опукло тіло з мінімально очікуваною нормою l2

Розглянемо опукле тіло орієнтоване за початком і симетричне (тобто, якщо то ). Я хочу знайти інше опукло тіло таким, що і наступний захід мінімізовано: $K$ $x\in K$ $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , де - точка, вибрана рівномірно з L. $x$

Я в порядку з постійним наближенням фактора до міри.

Деякі зауваження. Перша інтуїтивна здогадка про те, що сама відповідь, є неправильною. Наприклад, розгляньте як тонкий циліндр дуже високого розміру. Тоді ми можемо отримати таким, що , дозволяючи мати більш великий об'єм, близький до походження. $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
джерело

Бо нічого не варто, проблема виглядає важко. Навіть у 3d не очевидно, як це вирішити.

— Саріель Хар-Пелед

Очевидно, як це зробити в 2d оптимально? Звичайно, у 2d постійне наближення фактора є нецікавим.

— Ashwinkumar BV

Мені це не очевидно. Постійне наближення фактора очевидно в будь-якому вимірі шляхом наближення форми еліпсоїдом www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. Постійна залежатиме від розмірності.

— Саріель Хар-Пелед

Мене більше цікавить наближення постійного фактора, коли константа не залежить від розмірності.

— Ashwinkumar BV

Природно. Але дозвольте взяти його назад - навіть випадок еліпсоїда не очевидний. Якщо ви хочете напасти на цю проблему, це була б перша версія, яку слід дослідити. Інтуїтивно ви повинні вирішити, які розміри ігнорувати, а які розміри розширити. Здається, природним рішенням є опуклий корпус об'єднання еліпсоїда з іншим еліпсоїдом, де осі нового еліпсоїда або рівні деякому параметру r, або рівні іншому еліпсоїду.

— Саріель Хар-Пелед

Відповіді:

Якщо ми обмежимо і обома еліпсоїдами, то ваша проблема може бути вирішена з будь-якою точністю за допомогою SDP. Я знаю, що це не те, про що ви питали спочатку, але, здається, у нас немає рішення навіть для цього обмеженого випадку, і, можливо, це може допомогти взагалі. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ і . Звідси випливає, що (а отже, ) тоді і тільки тоді, коли - позитивна семидефінітна матриця. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Отже, SDP визначається: задавши симетричну матрицю PSD , знайти симетричну матрицю PSD st - PSD і мінімізовано. може бути знайдений шляхом вирішення SDP і потім СВДА дадуть вісь і вісь довжину . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Сашо Ніколов
джерело

(Як зазначено в коментарях, такий підхід не працює. Отриманий об'єкт не опуклий. Він характеризує об'єкт у формі зірки з мінімальною очікуваною відстані.)

Я думаю, що оптимальним об'єктом було б об'єднання і деякий куля, зосереджений на початку. Ось мої думки. За вашим визначенням , де - відстань від початку від поверхні до певного напрямку. Я використовував замість =, тому що я скинув деякі константи. Тепер ми хочемо мінімізувати під обмеженнями, які $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ по будь-якому напрямку. Зауважте, що якщо по деякому напрямку менше, ніж , ми можемо зробити його трохи більшим, скажімо, збільшити його на , щоб меншим. Це тому, що збільшуємо нумератор на , менше на коефіцієнт збільшення знаменника. Тому ми можемо подумати про поступове "деформування" (шляхом багаторазового збільшення об'єкта злегка та оновлення ), щоб зменшити його значення . Нехай - опуклий предмет в кінці. Потім, будь-яку точку на

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ знаходиться на відстані від початку, тобто - об'єднання і кулі з радіусом .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Дійсно, розглянемо інший опуклий об’єкт такий, що . Тоді , оскільки в іншому випадку ми можемо збільшити частину всередині щоб зменшити . З іншого боку, , оскільки в іншому випадку, за тією ж ідеєю, ми можемо скоротити частину поза щоб меншим. Тож існує унікальне оптимальне рішення. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
джерело

Можливо, мені чогось не вистачає, але чому об’єкт, породжений таким чином, опуклий?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Ви праві. Як я пропустив це ...

— user7852

Як щодо наступної ідеї: добре відомо, що опуклий об’єкт може бути наближений деяким еліпсоїдом, тобто є еліпсоїд такий, що . Тоді наближає з приблизним відношенням . Для будь-якого що містить , . Тож якщо ми можемо знайти оптимальний еліпсоїд що містить , тоді . Я не знаю , як обчислити . Але я б здогадався, що його осі вирівнюються з осями , і всі власні значення

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ нижче деякого порогу піднімається до цього порогу.

— user7852

Я згоден, що якщо L не обмежується опуклим тілом, це об'єднання K і кулі.

— Ashwinkumar BV

Ідея використання еліпсоїда не дасть вам постійного чинника. Це може дати кращий наближення . Моя здогадка полягає в тому, що опуклий корпус з кулькою відповідного радіуса є постійним наближенням фактора. Я не впевнений, як довести чи спростувати здогадку.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV

Наступне рішення ґрунтується на цьому припущенні / гіпотезі [доведено]:

Гіпотеза : Очікування функції опуклою на менше, ніж більше між очікуванням на і очікування на . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Нам потрібне буде лише для опуклості , але це може бути правдою в цілому] $K,K'$

Тепер візьміть будь-який набір і застосуйте до нього обертання зосереджене на початку, отримуючи . У вас буде , тому що обертання залишає довжину елементів інваріантної. Якщо я маю рацію щодо гіпотези, . Оскільки для будь-якого оптимального ви можете розглянути , де вказує на об'єднання всіх обертів і має , здавалося б, що оптимальним можна вибрати найменшу сферу, що містить $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Марко
джерело

Було б достатньо довести, що для очікування опуклої функції. Це здається простим.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Марко

Я не зовсім впевнений, що отримую вашу відповідь. Але точно не вірно, що L можна обрати як найменшу сферу, що містить K. Розглянемо довгий тонкий циліндр у розмірах довжини . Тоді будь-яка сфера що містить повинна мати . Але якщо ви побудуєте де U - сфера або радіус приблизно ви отримаєте приблизно . (де - константи)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV