Ідеальні поєднання у шаховій дошці?

Розглянемо проблему пошуку максимальної кількості лицарів, які можна розмістити на шаховій дошці без двох з них, що атакують один одного. Відповідь 32: не дуже складно знайти ідеальну відповідність (графік, індукований рицарськими рухами, є двостороннім, і ідеальна відповідність для плати 4 × 4), що, очевидно, є мінімальною кришкою краю. Це також не важко довести , що відповідь $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$дляшахової дошки$m \times n$коли$m,n \geq 3$: достатньо показати відповідність для$3 \leq m,n \leq 6$і зробити трохи індукційного кроку.

З іншого боку, якби шахова дошка була тороїдальною і $m, n$ були рівними, доказ навіть не вимагав би показувати відповідність для невеликих дощок: карта $(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$ має лише цикли рівної довжини, тому повинно бути ідеальне узгодження.

Чи є якийсь еквівалент для прямокутних шахових дощок, тобто чи є більш простий спосіб показати, що для досить великих $m, n$ завжди є ідеальна відповідність шахової дошки? Для великих дощок прямокутна дошка та тороїдальна дошка майже рівнозначні тому, що частка відсутніх ребер йде до нуля, але я не знаю жодних теоретичних результатів, які б гарантували ідеальну відповідність у такому випадку.

Що робити, якщо замість того, щоб стрибати в будь-який бік, лицар стрибнув ( 2 , 3 ) квадрати в будь-який бік? Або, з цього приводу, ( p , q ) квадрати, з p + q непарні та p , q coprime? Якщо є простий спосіб довести, що відповідь ⌈ m $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$для досить великихm,n(скажімо,m,n≥C(p,q)), як виглядаєC(p,q)?$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

Відповідь НЕ для всіх великихm,n,якщо, наприклад,p=6іq=3. Чому? Зауважте, що через залишки$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ тепер графік - це (вершина) роз'єднаного об'єднання трьох двочастинних графіків, і з кожного ми можемо вибрати більшу половину. Наприклад, якщо m = n = 100 , то таким чином ми можемо розмістити (принаймні) 5002 лицарів. (Це тому, що x + $\mod 3$$m=n=100$ має шість класів, які знаходяться в трьох парах, різниця між кардинальністю пар становить 1 , 1 , 2. )$x+y \mod 6$$1,1,2$

$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$