Яка різниця між пропозиціями та судженнями?

Мене бентежить тонка різниця між судженнями і судженнями, коли піддаються інтуїтивістській теорії типу. Чи може хтось пояснити мені, в чому сенс їх розрізняти і що їх відрізняє? Особливо з огляду на Ізоморфсима Каррі-Говарда.

По-перше, ви повинні знати, що загалом щодо цих термінів немає єдиної думки, і їх визначення залежать від системи, в якій працює. Оскільки ви запитали про теорію інтуїтивістського типу, я цитую Пфеннінг:

Судження - це те, що ми можемо знати, тобто об’єкт пізнання. Судження очевидно, якщо ми насправді це знаємо.

З іншого боку, на думку Мартіна-Лефа, судження є сукупністю доказів. У цьому трактуванні, якщо набір доказів для пропозиції є порожнім, то це помилково і в іншому випадку відповідає дійсності.

Пропозиція трактується як сукупність, елементи якої являють собою докази пропозиції

стверджують Nordström та ін. З іншого боку, у класичній логіці та загалом пропозиції є предметами, вираженими мовою, яка може бути або "справжньою", або "помилковою".

Щоб дати вам додаткову інтуїцію; з моєї точки зору, судження є металогічними, а пропозиції логічними.

Я пропоную "Конструктивну логіку" Френка Пфеннінга , "Докази та типи" Жана-Іва Жирара та "Програмування в теорії типів Мартіна- Лефа " Бенґта Нордстрем та ін. Усі три є у вільному доступі в Інтернеті. Останнє, мабуть, є найближчим до того, що ви хочете, оскільки воно орієнтоване на програмування і детально розглядає значення цих термінів та багато іншого.

Можливо, я можу спробувати дати менш метафізичну відповідь.

Є мова, логічна мова, яку ми вивчаємо. У цій мові є речі, звані "пропозиції", які повинні бути істинними або хибними.

Існує мета-мова, яка також є логічною мовою, в якій ми намагаємось пояснити, які речі в базовій мові є істинними чи хибними. Висловлювання, які ми робимо в цій мета-мові, називаються "судженнями".

Зверніть увагу, що всі пропозиції базової мови мають статус даних у мета-мові. Вони такі ж гарні, як і струнні. Ви не можете запитати рядок, правда чи неправда. Судження - це інтерпретатор, який інтерпретує рядок як пропозицію і вирішує, чи це правда, чи хибність.

Я спробую бути коротким, де інші відповіді були більш вичерпними. Існує різниця між фрагментом тексту, який говорить "Дворецький це зробив". , а місіс Марпл проголосила "дворецький це зробив". У другому випадку дворецький може втратити свободу.

У теоріях типу Мартіна-Лефа судження є частиною мовленнєвих актів . Існує чотири (або п’ять згідно з Вікіпедією) суджень:

• $A \ \mathsf{Type}$$A$
• $s : A$$s$$A$
• $s=t : A$$s$$t$$A$
• $A=B$$A$$B$
• $\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

$\vdash$

$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

До пропозицій у відповіді Ентоні я додам «Основи конструктивної математики» Майкла Бізона. Мартін Леф виступив з кількома бесідами, які дуже добре пояснюють його теорію, але, на жаль, більшість з них не перетворилася на опубліковану ним форму (але перегляньте цей веб-сайт ).

Судження - це склад двох речей:

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$, де деякі логіки мають такі судження, які не тривіально еквівалентні жодній пропозиції мови логіки. Тож різні види пропозицій розглядаються у досить елементарній класичній логіці.

Теорія типу Мартіна-Льофа вдається до більш складної сім'ї суджень з трьох причин: По-перше, це залежно від типу, що означає, що пропозиції виникають як синтаксичні утворення в термінах. По-друге, він відмовився за допомогою граматики, щоб визначити, які рядки символів є дійсними термінами та пропозиціями, але використовував інфекційну систему для цього - розумне, що робити, оскільки пропозиції в таких набраних теоріях, як правило, не є контекстними. По-третє, він розробив нову теорію рівності, яку часто називають пропозицією рівності, яка використовує теорію бета-ета (або в деяких варіантах, лише бета-теорію), а судження про те, що два терміни мають однакову нормальну форму, виражаються за допомогою суджень, що виражають бета / ета еквівалентність двох термінів - знову ж таки розумна,

Судження, що виражають еквівалентність бета / ета, можуть бути усунені не дуже великими труднощами - тому підставою для правила введення пропонованої рівності є те, що два терміни є бета-еквівалентом (еквівалентність бета-ета трохи більш проблематично) - але усунення судження що терміни заселення типів набагато складніше; найменш поганий спосіб, який я можу зробити для цього, - це реконструювати типові умовиводи в терміні граматика, що призводить до більш складної та менш інтуїтивної теорії загалом.

Претензії, пропозиції та заяви все однакові; але судження - це судження, яке було перевірено (правильно чи неправильно), схвалено або використано як висновок. Немає необхідності у фантазійних формулах, як, наприклад, відповіді вище, здається, зловживають ...