Найкоротша еквівалентна формула CNF

Нехай $F_1$ є здійсненним КНФ Формула з $n$ змінних і $m$ положень. Нехай $S_{F_1}$ - простір рішення $F_1$ .

Розглянемо задачу визначення, враховуючи $F_1$ , інший КНФ формула $F_2$ з тим же набором змінних , як $F_1$ , з $S_{F_2} = S_{F_1}$ ( то ж саме простір рішень , як $F_1$ ), але з найменшим кількістю положень , як це можливо ( Єдина мета полягає в тому, щоб мінімізувати кількість застережень, тому скільки буквальних даних може мати кожне застереження, це не має значення).

Питання

Хтось уже досліджував цю проблему? Чи є якісь результати в літературі щодо цього?

Як приклад, розглянемо наступну формулу CNF (кожен рядок є пунктом): $F_1$

x 2 ∨ x 3 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x 3 ¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x 2 ∨ ¬ x $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

та наступна формула : $F_2$

x 2 ∨ x 3 ∨ x 4 ¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x $x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

обидва мають однаковий простір рішення, але, хоча має 6 пунктів, F 2 має лише 4 . $F_1$$6$$F_2$$4$

Нарешті, розглянемо таку формулу : $F_3$

¬ x 1 ∨ x 3 ∨ x 5 ¬ x 1 ∨ x $x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

Простір рішення знову той самий, але лише з застереженнями.$3$

Проблема визначення того, чи існує еквівалентна формула CNF з щонайбільше заданою кількістю літералів, є -повною. Версія, що мінімізує кількість пропозицій, знаходиться в межах коефіцієнта n розміру формули, де n - кількість змінних. Дивіться розділ 6:$\Pi_2^p$$n$$n$

• Крістофер Umans, еквівалентна мінімальна ДНФ проблема і Найкоротший импликант , ССПС 63 (4), 597-611, 2001. DOI: 10,1006 / jcss.2001.1775 ( препринт )

Нещодавній результат показує, що обчислення конкретної нижньої межі для розміру найкоротшої еквівалентної формули CNF (вимірюється числом пунктів, як ви вказуєте) є NP-завершеним. У цьому документі також зазначається, що ваша проблема мінімізації кількості пунктів також є -повною, цитуючи вищезгаданий документ Umans, хоча чому це випливає, для мене не відразу очевидно.$\Pi^p_2$

• Ondřej Čepek, Petr Kučera та Petr Savický, Boolean функції з простим сертифікатом на складність CNF , 160 DAM (4–5), 365–382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

Проблема мінімізації ланцюгів є нерозв'язною (див. Коментарі нижче). Також, я думаю, що вас може зацікавити - це техніка, яку застосовують деякі вирішувачі SAT (принаймні певною мірою), що називається попередньою обробкою SAT. Наприклад, відомий розв'язувач MiniSAT використовує мінімізатор CNF SatELite для попередньої обробки екземпляра. Google Scholar дає безліч результатів і для "попередньої обробки".

Основним STD / відомим рішенням для мінімізації CNF в EE є алгоритм Quine-McCluskey, в якому існує багато реалізацій, деякі публічні надбання. проте моє розуміння полягає в тому, що (не згадується в нинішній статті у Вікіпедії) більшість звертається до евристики та жадібних алгоритмів, щоб знайти рішення для великих формул, тобто вони не належать. знайти оптимальне рішення esp. для великих примірників введення.

Quine-MCluskey - це узагальнення роботи з картами Karnough, діаграми яких можуть досягти успіху для невеликих примірників.

і зауважте, що може бути декілька оптимальних рішень з точки зору еквівалентних формул з однаковим (мінімальним) розміром пункту, це буде вказано в хорошій посилання на subj. знаходження мінімуму, мабуть, зводиться до перерахування всіх найважливіших імплікацій, які можуть включати масивне експоненціальне здуття в пам'яті / "просторі" порівняно з розміром вихідної формули.