Які проблеми є, коли ми знаємо, що у нас є оптимальний алгоритм?

Які існують нетривіальні проблеми, коли ми знаємо, що поточний алгоритм є асимптотично оптимальним? (Для машин для твердіння)

І як це доведено?

Будь-який алгоритм, який займає лінійний час і повинен читати весь його вхід, повинен бути асимптотично оптимальним. Аналогічно, як зауважує Рафаель, оптимальним є будь-який алгоритм, час виконання якого є таким же порядком, як розмір виводу.

Якщо міра складності, яку ви розглядаєте, - це складність запиту, тобто кількість разів, коли машина повинна подивитися на вхід для вирішення певної проблеми, то існує багато проблем, для яких у нас є оптимальні алгоритми. Причиною цього є те, що нижчі межі складності запиту досягаються легше, ніж нижчі за часовою чи просторовою складністю, завдяки деяким популярним методам, включаючи метод противника .

Мінусом є, однак, що ця міра складності майже виправдано використовується при квантовій обробці інформації, оскільки забезпечує простий спосіб довести розрив між квантовою та класичною обчислювальною потужністю. Найвідоміший квантовий алгоритм у цій структурі - алгоритм Гровера . З огляду на двійкову рядок для якої існує одинарна i така, що x i = n , вам потрібно знайти i . Класично (без квантового комп'ютера) оптимальним є найтривіальніший алгоритм: вам потрібно запитувати цю рядок в середньому n / 2 рази, щоб знайти$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$ . Гровер надав квантовий алгоритм, який робить це в O ( $i$запити до рядка. Це також було доведено оптимальним.$O(\sqrt n)$

• Якщо ви готові змінити свою модель, у структурах даних досить низькі межі. Див. Нижні межі для структур даних для покажчиків на хороші посилання на нижні межі в структурах даних.
• Із призначеного для сортування, у моделі порівняння, про яку тут згадували деякі люди, можна отримати аналогічну межу для проблеми опуклого корпусу, розглядаючи випадок, коли вхід складається з точок уздовж графіка зростаюча функція в першому квадранті площини.$\Omega(n log n)$

1. Порівняльне сортування за допомогою порівняння (сортування злиття, щоб назвати одне) є оптимальним, доказ включає просто обчислення висоти дерева з n ! листя.$O (n \log n)$$n!$

2. Припускаючи, що створено унікальну гру Ігор, Кхот, Кіндлер, Моссел та Оодоннел показали, що наблизити до максимального кроку краще NP-алгоритм Goemans та Williamson. Так що в цьому сенсі G&W є оптимальним (якщо припустити також, що ).$P\neq NP$

3. Деякі розподілені алгоритми можуть бути оптимальними щодо деяких умов (наприклад, частка протиборчих процесорів), але оскільки ви згадали машини Тьюрінга, я думаю, це не той тип прикладів, який ви шукаєте.

Припустимо , ви отримуєте вхід і просять вирішити , якщо RAM машина M Завершує на вході х після т кроків. За теоремою ієрархії часу оптимальним алгоритмом для вирішення цього є моделювання виконання M ( x ) для t кроків, що можна зробити за час O ( t $w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$$t$$M(x)$$t$$O(t)$ .

(Примітка. Для машин Тьюрінга моделювання виконання виконує дії O ( t log t ) ; ми знаємо лише нижню межу Ω ( t $M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$ . Отже, це не зовсім оптимально для машин Тьюрінга).

Є деякі інші проблеми, які містять версію проблеми зупинки як підзаговорку. Наприклад, для вирішення того, чи є пропозиція наслідком WS1S, потрібен час 2 ↑ ↑ O ( | θ | ), і це оптимально.$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

Я не впевнений, що ви маєте на увазі під "нетривіальним", але як щодо цього. . Ця мова не є регулярною, тому будь-яка TM, яка вирішила, повинна працювати у Ω ( n log n ) . Простий алгоритм (перетинання всіх інших 0) є оптимальним.$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

Якщо ви дозволяєте динамічні проблеми структури даних, ми знаємо деякі суперлінійні оптимальні алгоритми часу. Це в моделі зондової комірки, яка настільки ж сильна, як слово RAM, тобто це не так обмежена модель, наприклад, алгебраїчні дерева рішень.

Один із прикладів - зберігання префіксальних сум під динамічним оновленням. Почнемо з масиву чисел , а мета - зберегти структуру даних, яка дозволяє виконувати наступні операції:$A[1], \ldots, A[n]$

• Додайте до A [ i ] , заданого i та $\Delta$$A[i]$$i$$\Delta$
• Обчисліть префіксну суму , задану $\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

Ви можете легко підтримувати обидві операції в час зі структурою даних на основі доповненого бінарного дерева з A [ i ] на листках. Патраску та Демейне показали, що це оптимально: для будь-якої структури даних існує послідовність з n доповнень та префіксів суми запитів, які повинні приймати загальний час Ω ( n log n ) .$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

Іншим прикладом є об'єднання пошуку : почніть з розділу на одиночні кнопки та збережіть структуру даних, яка дозволяє виконувати дві операції:$\{1, \ldots n\}$

• Союз: задані і j , замініть частину, що містить i, і частину, що містить j, їх об'єднанням$i$$j$$i$$j$
• Знайдіть: задано , виведіть канонічний елемент із частини, що містить $i$$i$

Тарджан показав, що класична роз'єднана множина лісових структур даних із об'єднанням евристики стиснення за рангом і трактом займає час на операцію, де α - обернена функція Акермана. Фредман і Сакс показали, що це оптимально: для будь-якої структури даних існує послідовність n об'єднань і пошуку операцій, які повинні зайняти час Ω ( n α ( n ) ) .$O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$

Багато алгоритмів потокової передачі мають верхні межі, що відповідають їх нижнім.

Є два дещо схожі алгоритми пошуку, які [наскільки я розумію] є оптимальними на основі певних обмежень впорядкування / розподілу введення. однак презентація алгоритмів, як правило, не підкреслює цю оптимальність.

• золотий розріз пошуку для знаходження максимуму чи мінімуму (екстремуму) одномодальної функції. передбачає, що введення - це унімодальна функція. знаходить його в логарифмічному часі в середньому. наскільки я пам'ятаю, можливо, в книзі « Структура та інтерпретація комп’ютерних програм abelson & sussman» було підтверджено оптимальність .

• двійковий пошук знаходить точку в логарифмічному часі в середньому в відсортованому списку, але вимагає сортування введення.

^{Я цитую вище вікіпедію, але у неї немає доказів того, що вони оптимальні, можливо, деякі інші посилання, які підтверджують оптимальність, можуть бути знайдені аудиторією.}

Багато алгоритмів підлінійного часу мають верхні межі, що відповідають їх нижнім.