Теорема Ладнера проти теореми Шефера

Читаючи статтю "Чи пора оголосити перемогу в підрахунку складності?" в блозі "Загублений лист Годеля та Р = НП" вони згадали про дихотомію для ДСП. Після деякого посилання, слідуючи за гуглами та wikipeding, я натрапив на теорему Ладнера :

Теорема Ладнера : Якщо , то в N P ∖ P є проблеми , які не є N P -повними.${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

і до теореми Шефера :

Теорема дихотомії Шефера: Для кожної мови обмеження Γ понад { 0 , 1 } , якщо Γ Schaefer, тоді C S P ( Γ ) розв'язується в поліномі в часі. В іншому випадку C S P ( Γ ) є N P -комплектним.$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

Я прочитав це в тому сенсі , що, Ladner, є проблеми , які НЕ є ні , ні N P -повне, але Шефер, проблеми або P і N P -повний тільки.${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

Що я пропускаю? Чому ці два результати не суперечать один одному?

Звідси я взяв зведений варіант вищезгаданих тверджень теореми . У своєму розділі "Заключні коментарі" він говорить: "Таким чином, якщо проблема є в але вона не є N P- незавершеною, то вона не може бути сформульована як CSP".${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

Чи означає це , пропустіть проблеми деякі приклади , які знаходяться в N P ? Як це можливо?${\bf SAT}$${\bf NP}$

Як зазначає Массімо Лаурія, проблеми форми CSP ( ) є досить особливими. Тож немає протиріччя.$\Gamma$

Будь-який екземпляр проблеми задоволення обмежень може бути представлений у вигляді пари реляційних структур S і T , і треба вирішити, чи існує гомоморфізм реляційної структури від джерела$(S,T)$$S$$T$ до цільового$S$$T$ .

CSP ( ) - це особливий вид проблеми задоволення обмежень. Він складається з усіх пар реляційних структур, які побудовані з використанням лише відношень з Γ в цільовій реляційній структурі: CSP ( Γ ) = { ( S , T ) ∣ всі відносини  T  походять від  Γ } . Теорема Шефера говорить, що коли Γ містить лише відношення понад { 0 , 1 } , тоді CSP ( $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$) або NP-повний, або P, але нічого не говорить про інші колекції екземплярів CSP.

Як крайній приклад, можна почати з деякої CSP ( ), яка не є повною NP, і "пробити дірки" в мові. (Ладнер зробив це з SAT в доказ своєї теореми.) Результат - це підмножина, що містить лише деякі екземпляри, і вже не у формі CSP ( Γ ′ ) для будь-якого Γ ′ . Повторення побудови дає нескінченну ієрархію мов зменшення твердості, припускаючи P ≠ NP.$\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

Вам потрібно зрозуміти, що проблеми мають структуру, якої загальних S A T проблем немає. Я наведу вам простий приклад. Нехай Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$. Ця мова така, що ви можете висловити лише рівність і нерівність між двома змінними. Очевидно, що будь-який такий набір обмежень вирішується в поліноміальний час.

Я наведу вам два аргументи для з'ясування зв’язку між та пунктами. Зауважте, що все, що випливає, передбачає P ≠ N $\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$ .

По-перше : обмеження мають фіксовану кількість змінних, тоді як для кодування проміжних проблем можуть знадобитися великі пропозиції. Це не обов'язково питання, коли такі великі обмеження можна виразити як сполучення малих, використовуючи допоміжні змінні. На жаль, це не завжди так для загального $\Gamma$ .

Припустимо , , щоб просто утримувати O R п'яти змінних. Очевидно, ви можете виразити O R менших змінних, повторивши введення. Ви не можете виразити більший O R, оскільки спосіб зробити це за допомогою змінних розширень вимагає диз'юнкцій позитивних та негативних літералів. Γ представляє відносини на змінних , а не на буквальні . Дійсно, коли ви думаєте про 3- S A T як C S P, що вам потрібно$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$ містити чотири співвідношення диз'юнкції з деякими запереченими входами (від нуля до трьох).

По-друге : кожне відношення в може бути виражене партією пунктів із (скажімо) трьома буквами. Кожне обмеження повинно бути цілою партією таких пунктів. У прикладі з обмеженнями рівності / нерівності ви не можете мати двійкове A N D (тобто відношення ( 1 , 1 ) ) без примусового використання бінарного заперечення O R (тобто відношення ( 0 , 0 ) ) на одних і тих же змінних.$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

Я сподіваюсь, що це вам ілюструє, що екземпляри отримані від C S P s, мають дуже своєрідну структуру, що забезпечується природою$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$ . Якщо структура занадто щільна, то ви не можете висловити важких проблем.

Наслідком теореми Шефера є те, що коли застосовує структуру, досить вільну для вираження N P ∖ P проблем рішення, то те саме Γ дозволяє достатньо свободи для вираження загальних випадків 3- S A $\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$