Функціональна повнота тризначної логіки

У контексті недавньої роботи ми визначали мову, засновану на тризначній логіці à la Kleene, де $1$ означає правду, $0$ за хибні, і $\bot$ за помилку чи не знаю. Для того, щоб показати, що наша мова була виразною, ми хотіли довести, що ми можемо побудувати набір операторів функціонально завершених.

В літературі було досить важко знайти існуючі результати. Ми знайшли один документ, написаний в 1962 році Джобе, в якому йдеться про таку теорему:

Джоб 1962 Теорема паперу (обмежений доступ).

Тризначна логіка $E$ виражена над безліччю $\{1, 2, 3\}$ і визначені операторами $\bullet, E_1$ і $E_2$ , наведений нижче, функціонально завершений.

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

У нашій роботі ми використали цей результат, показавши відповідність між нашими операторами та тими, які визначені Джоубом (грубо кажучи, ми використовуємо сильну кон'юнкцію, заперечення та оператор, який перетворює невідомого в хибне).

Моє основне занепокоєння полягає в тому, що я насправді не в змозі зрозуміти доказ функціональної повноти Джоба, і ми не змогли знайти жодного іншого результату (позитивного чи негативного) після цієї дати, що чомусь дивно.

Отже, моє запитання таке: чи є ще якісь відомі результати щодо функціональної повноти 3-значної логіки? Будь-яка інформація в цьому напрямку буде корисною.

reference-request lo.logic

— Карла
джерело

The

3

$3$ -елементне поле функціонально заповнене. The

3

$3$ -елемент Алгебра Пост функціонально завершена.

— Еміль Єржабек

@ EmilJeřábek Спасибі, я щойно прочитав про логіку "Ternary Post", і це, здається, відповідає (хоча і на цю тему я не можу багато чого знайти). Чи хотіли б ви мати посилання на 3-елементне поле? Google трохи надто розпливчастий.

— Чарльз

Я не можу дати вам посилання без відриву, але це простий факт: стандартна (багатоваріантна) інтерполяція передбачає, що будь-яка операція на кінцевому полі може бути виражена поліномом. Більше того, якщо поле є простим (наприклад, тут), то коефіцієнти многочлена визначаються постійними величинами (

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ ). Таким чином, прості поля в мові

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ функціонально завершені.

— Еміль Єржабек

Глави 5 та 6 книги [Функціональні алгебри на кінцевих множинах, Дітлінде Лау, 2006] містять глибоку обробку функціональної повноти у багатозначній логіці (включаючи докази). Підсумовуючи: характеристика максимальних клонів Розенбергса [1965, 1970] (їх також називають попередніми клонами) дає критерій функціональної повноти в k-значущій логіці для будь-якого k.

Для особливого випадку 3-значної логіки така характеристика (що складається з 18 максимальних / попередніх класів) була надана Яблонським ще в 1954 р. Отже, щоб переконатися, що ваш набір 3-х значущих "операторів" функціонально завершений, він достатньо перевірити, чи не потрапляють вони до жодного з 18 попередніх класів.

— Густав Норд
джерело