Яка "реальна" причина того, що IP = PSPACE не релятивізує?

$O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

Однак я бачив, що лише декілька людей дають "пряме" пояснення, чому результат не релятивізується, а звичайна відповідь - "арифметизація". Після перевірки доказу IP = PSPACE, ця відповідь неправдива , але мені це не задовільно. Здається, що "справжня" причина відстежується тим, що проблема TQBF - справжня кількісно виражена булева формула - є повною для PSPACE; щоб довести це, вам потрібно показати, що ви можете кодувати конфігурації машини PSPACE у форматі розміру полінома, і (це, здається, нерелятивізуюча частина) ви можете кодувати "правильні" переходи між конфігураціями в розмірі полінома булева формула - для цього використовується крок у стилі Кука-Левіна. ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

Інтуїція, яку я розробив, полягає в тому, що нерелятивізуючі результати - це ті, що стикаються з азотною зернистістю машин Тюрінга, і крок, де TQBF виявляється завершеним для PSPACE, це те, де це відбувається, - і крок арифметизації міг би Ви трапилися лише тому, що у вас була чітка булева формула для арифметизації.

Це, як мені здається, є основною причиною того, що IP = PSPACE є нерелятивізуючим; і фольклорна мантра про те, що методи арифметизації не релятизуються, здається, є побічним продуктом цього: єдиний спосіб арифметизації чогось - якщо у вас є булева формула, яка кодує щось про ТМ в першу чергу!

Щось мені не вистачає? Як під питання - чи означає це, що всі результати, які певним чином використовують TQBF, також не релятивізують?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Генрі Юен
джерело

Ви можете включити ворота oracle у кількісно виражену булеву формулу, і тоді така релятивізована TQBF ^ O є повною для PSPACE ^ O, тому це не крок, що не є релятивізуючим.

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Привіт Еміле - ти міг би розробити трохи більше? Скажімо , у мене є

машини M, і я намагаюся виконувати ту ж доказ того, що L (M) (мова , що приймається М) зводиться до

(незалежно від

означає). Зрештою, мені доведеться придумати булеву формулу, яка виражає, чи є дві конфігурації C, C 'машини oracle M сусідами (для будь-яких двох конфігурацій C, C'). Як я можу забезпечити, незалежно від оракула, ця булева формула обмеженого розміру, не кажучи вже про розмір полінома? Наприклад, O може кодувати проблему зупинки.

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Генрі Юен

Я думаю, я міг би відсунути це ще більше - чи сама теорема Кука-Левіна релятивізується? З тих самих причин, які були згадані вище, я не думаю, що це робить. Чи релятивізує теорему Кука-Левіна, визначає, чи релятивізується також PSPACE-доказ повноти TQBF.

— Генрі Юен

Формула QBF ^ O може, крім звичайних кількісних показників та булевих сполучників, також використовувати нові безмежні вентилятори, називаючи це

, семантика яких

тоді і тільки тоді рядок

належить до оракула

. Висловити цією мовою, що одна конфігурація є наступницею іншої, є простою вправою, оскільки ви можете просто підключити вміст стрічки запиту oracle у

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$ . (Я припускаю, що машина PSPACE може робити лише багаточлени запитів.)

— Еміль Йерабек підтримує Моніку

Я бачу - ви говорите, що при релятивізації доказування PSPACE-повноти TQBF ви не тільки релятивізуєте машини, що відтворюються, але і релятивізуєте самі булеві формули (тому вони більше не булеві формули в строгому розумінні ). У такому випадку я можу зрозуміти, чому крок арифметизації вийде з ладу. Спасибі! Можливо, ви можете написати це як відповідь.

— Генрі Юен

Будь-яка відповідь на запитання форми "Яка реальна причина того, що ..." обов'язково буде дещо суб'єктивною. Однак, для конкретного випадку IP = PSPACE, я думаю, що можна зробити досить непоганий випадок, що арифметизація справді є ключовою, спостерігаючи, що, хоча IP = PSPACE не релятивізується , вона алгебризується в значенні Ааронсона і Вігдерсона . Як вони пояснюють в своїй статті, грубо кажучи, клас складності включення algebrizes якщо для всіх оракулів і все низькі ступеня розширень з ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ . Зокрема, вони показують, що включення PSPACE IP алгебризує, навіть не релятивизуючи його. $A$ $\subseteq$

Інтуїція, яку я розробив, полягає в тому, що нерелятивізуючі результати - це ті, що тріскаються за допомогою солодкої зернистості машин Тюрінга

Це не погана інтуїція, але я вважаю, що результат Ааронсона-Вігдерсона показує, що доказ IP = PSPACE обертається досить обмеженим чином, і, звичайно, не досить складним способом довести P NP, оскільки Ааронсон і Вігдерсон також показують, що для відокремлення Р від НП знадобляться неагебризуючі методи. $\ne$

— Тімоті Чоу
джерело

Дякую за довідку. Дозвольте мені зрозуміти, чи я це розумію: те, що ви - і папір Ааронсона / Вігдерсона - начебто, сперечаєтесь, - це те, що «арифметизація» є слабко нерелятивізуючим кроком і що крихітна, природна зміна поняття релятивізації (а саме: алгебраїчна релятивізація) порушить цю властивість. Оскільки решта доказів IP = PSPACE релятивізує (і я переконаний у тому, що Еміль сказав вище), це означає, що сам результат IP = PSPACE дуже слабо нерелятивізується, про що ви сказали. Дуже цікаво! Спасибі. Мені потрібен спосіб прийняти обидві відповіді :)

— Генрі Юен

Так, це в основному правильно.

— Тимофі Чоу