Максимальний приріст потоку в динамічних графіках

Я шукаю швидкий алгоритм для обчислення максимального потоку в динамічних графіках. тобто з урахуванням графіка і s , t ∈ V маємо максимальний потік F в G від s до t . Потім новий / старий вузол u додається / видаляється відповідними краями, щоб утворити графік G 1 . Який максимальний потік у новоствореному графіку? Чи є спосіб запобігти перерахунку максимального потоку?$G=(V,E)$$s,t\in V$$F$$G$$s$$t$$u$$G^1$

Оцінюється будь-яка попередня обробка, яка не дуже забирає час / пам'ять.

Найпростіша ідея - це перерахунок потоку.

Інша проста ідея полягає в тому, щоб зберегти всі шляхи збільшення, які використовувались у попередньому обчисленні максимального потоку, для додавання вершини ми можемо знайти прості шляхи (в оновленому графіку ємності за попереднім кроком), які починаються від джерела, йде до v, потім йде до місця призначення, але проблема полягає в тому, що цей шлях повинен бути простим, я не міг знайти кращий за O ( n ⋅ m ) для цього випадку, для m = | Е | . (Також зауважте, що якби це був лише один шлях, це можна зробити в O ( n + m ), але це не так.)$v$$v$$O(n\cdot m)$$m=|E|$$O(n+m)$

Також для видалення вузла вище ідея не працює.

Також я вже бачив документи, такі як « Інкрементальний підхід до країв» , але, здається, вони недостатньо хороші в цьому випадку, це більше, ніж для кожного краю, і, здається, не підходить розширення в цьому випадку (ми просто перераховуємо потік). Також зараз я використовую алгоритм максимального потоку Ford-Fulkerson. Якщо є кращий варіант для онлайн-алгоритмів, це добре знати.$O(m)$

Описаний підхід може бути не теоретично оптимальним. Це просто просте практичне рішення, яке може працювати автору. Я не можу надати жодних посилань, тому що я завжди вважав, що це широко відомий фольклор, але як не дивно, ніхто його не розмістив у відповіді. Так я це роблю.

Припустимо, у нас є непряма мережа . Припустимо, він зберігається в структурі даних, яка дозволяє легко вставляти / видаляти вершини / дуги. Іноді ми будемо використовувати залишкову мережу G f (тобто з оновленими ємностями c f = c - f ).$G=(V,E,c)$$G_f$$c_f = c - f$

Перша частина - як обробити вершинні вставки / видалення. Це більше чи менш просто:

1. Додайте нову вершину з відповідними краями до залишкової мережі.
2. Знайдіть максимальний потік в оновленій залишковій мережі, використовуючи алгоритм maxflow на ваш вибір.

Для видалень все ускладнилося. Уявіть, що ми розділимо вершину ми збираємося видалити на дві половини v i n та v o u t, так що всі внутрішні дуги вказують на v i n , всі позадугові арки переходять від v o u t і ці нові вершини підключені дугою нескінченної ємності. Тоді видалення v еквівалентно видаленню дуги між v i n і v o u t . Що буде в цьому випадку? Позначимо через f $v$$v_{in}$$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$v$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$потік, що проходить через вершину . Тоді v i n буде відчувати надлишок одиниць потоку f v, а v o u t відчує дефіцит одиниць потоку f v одразу після видалення (обмеження потоку очевидно будуть порушені). Щоб знову обмежити обмеження потоку, нам слід переставити потоки, але також ми хочемо зберегти початкове значення потоку якомога вище. Подивимось спочатку, чи зможемо ми переставити без зменшення загального потоку. Щоб перевірити, чи знайти maxflow ~ f v від v i n до v o $v$$v_{in}$$f^v$$v_{out}$$f^v$$\tilde{f^v}$$v_{in}$ у "вирізаній" залишковій мережі (тобто без дуги, що з'єднує v i n та v o u t ). Очевидно,ми повинні зв'язати це f v . Якщо це стане рівним f v, то нам пощастить: ми переназначили потік, який проходив черезvтаким чином, що загальний потік не змінився. В іншому випадку загальний витрата повинен бути зменшений на "марне" перевищенняΔ= f v - ~ f v одиниць. Для цього тимчасово підключітьsта$v_{out}$$v_{in}$$v_{out}$$f^v$$f^v$$v$$\Delta = f^v - \tilde{f^v}$$s$$t$дугою нескінченної ємності та запустіть алгоритм maxflow знову від до v o u t (ми повинні пов'язати потік на Δ ). Це дозволить виправити залишкову мережу і змусить обмеження потоку знову утримуватися, автоматично зменшивши загальний потік на Δ .$v_{in}$$v_{out}$$\Delta$$\Delta$

Складність часу таких оновлень може залежати від використовуваного нами алгоритму maxflow. Найгірші випадки можуть бути досить поганими, але це все-таки краще, ніж загальний перерахунок.

$O(|V|^2|E|)$$O(|E|^2 \log C_{max})$

ОК, враховуючи нову інформацію та уникаючи деяких хитрих попередніх помилкових стартів / червоних рефлексів оселедців (mea culpa), ось кілька нових запитів щодо цього.

Швидке розв’язання в Інтернеті послідовності проблем з максимальним потоком з розширеннями для обчислення надійних мінімумів скорочень Дуга Альтнера та Езлема Ергуна

ця посилання враховує онлайн- послідовності МФУ та "теплі старти", тобто побудова на покрокових ЧГ до попереднього МФП. "Ми демонструємо, що наші алгоритми скорочують час роботи на порядок, коли порівнюють аналогічні коди, які використовують вирішувач MFP" чорного поля ". Зокрема, ми показуємо, що наш алгоритм для надійних мінімальних скорочень може вирішувати випадки за секунди, що вимагало б більше чотирьох годин, використовуючи чорний ящик для вирішення максимальної витрати ".

просування по проблемах, пов'язаних з максимальними потоками Альтнер, Дуглас С., Джорджія техн

У цій кандидатській дисертації 2008 р. (завантажуваний pdf) автор розглядає проблему поступового додавання дуг, яка, здається, "досить близька" до проблеми додавання нових вершин (з декількома новими дугами).

значна частина цього посилання стосується видалення частин мережі (скорочень / "заборони"), як зазначено в першій частині реферату

див. esp "IV РЕШЕННЯ ОНЛАЙНІ ПОСЛІДКІВ МАКСИМАЛЬНИХ ПОТОКІВ. ... с. 63".

p 63 "Мета цієї глави, однак, переконати читача в тому, що ітераційне використання вирішувача максимального потоку в чорній коробці для вирішення великої послідовності МФУ може призвести до величезної кількості непотрібних обчислень."

p66 "У вищезазначених додатках МПП, як правило, топологічно схожі. Тобто наступна МФП в послідовності відрізняється від попередньої додаванням або видаленням невеликої кількості дуг або передбачуваною зміною ємності локалізованого набору дуг. Більше того , при вирішенні цих примірників час і простір, необхідний для зберігання будь-якого, що не відповідає вирішенню попередньої проблеми, як правило, не є обґрунтованим. "

Автор p67 також використовує підхід "теплого початку". "Ефективна стратегія швидкого вирішення всієї онлайн-послідовності проблем оптимізації - це розробка ефективної евристики реоптимізації. З цією метою ми розробляємо модифікований алгоритм максимального потоку, розроблений для ефективного теплого запуску." "

див. esp p71, який має специфічну додаткову проблему з новою дугою:

Нова проблема повторної оптимізації максимального потоку дуги (NAMFRP)

автор розглядає більш загальні проблеми p67

Проблема з повторною оптимізацією
максимального потоку (MFROP)

З деякого швидкого пошуку схоже, що онлайн-версія - це область активних досліджень. Ви не згадуєте область додатків, яка може допомогти звузити пошук літератури. Один із варіантів - шукати сферу застосування, де найбільше чи найновіше нововведення. отже, існує деяке застосування додаткового максимального потоку в системах зору та деякі алгоритми для цього; спробуйте Максимальний потік шляхом поступового пошуку по ширині в перших пошукових лабораторіях. Якщо перефразовувати вступ до цієї статті, мабуть, для прикладів зору алгоритм Бойкова та Колмогорова добре працює, і немає відомих експоненціальних часових контрприкладів, хоча за межами програм із баченням це може бути погано. тому, можливо, варто спробувати алгоритм B&K на своїх даних і побачити, як він працює &

ви, здається, говорите, що алгоритм поступового лінійного числа ребер графа не є достатньою швидкістю? але хіба це досить висока ефективність? з якою кількістю країв ви маєте справу? можливо, підходом може бути зниження вартості переходу графіка, якщо це дорого чи важливий фактор (наприклад, графік, що зберігається в db vs графік, що зберігається в пам'яті)

ось цікава робота, яка стверджує, що, хоча неінкрементальний алгоритм для максимального потоку знаходиться в P, інкрементальна версія є NP завершеною. "Наскільки ми знаємо, наші результати першими знайшли проблему P-часу, інкрементальна версія якої NP не завершена".

Зростання потоку від Hartline, Sharp

інша можливість / напрямок - це алгоритм максимального потоку " push-relabel" , який є "одним з найбільш ефективних алгоритмів максимального потоку" і може мати кращі профілі складності залежно від ваших даних. наприклад, як зазначено на сторінці вікіпедії

$O(V^3)$$O(V^2 \sqrt E$$O(V \cdot E \cdot log(V^2 / E))$