Яке мінімальне розширення FO, яке охоплює клас регулярних мов?

Контекст: відносини між логікою та автоматами

Теорема Бючі говорить, що логіка Монадичного другого порядку над рядками (MSO) захоплює клас регулярних мов. Доказ фактично показує, що екзистенціальної MSO ( або EMSO ) над рядками достатньо для захоплення звичайних мов. Це може бути трохи дивно, оскільки для загальних структур MSO суворо виражає, ніж . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Моє (оригінальне) запитання: мінімальна логіка для звичайних мов?

Чи є логіка, яка над загальними структурами суворо менш виразна, ніж , але вона все ще захоплює клас регулярних мов, якщо розглядати їх над рядками? $\exists\text{MSO}$

Зокрема, я хотів би знати, який фрагмент регулярних мов фіксується FO над рядками, коли розширений оператором з найменшою фіксованою точкою (FO + LFP). Це здається природним кандидатом на те, що я шукаю (якщо це не ). $\exists\text{MSO}$

Перша відповідь

Відповідно до відповіді @ makoto-kanazawa , і FO (LFP), і FO (TC) охоплюють більше, ніж звичайні мови, де TC є оператором транзитивного закриття бінарних відносин. Залишається зрозуміти, чи можна TC замінити іншим оператором або набором операторів таким чином, що розширення захоплює саме клас регулярних мов, а не інші.

Як відомо, логіки першого порядку, як ми знаємо, недостатня, оскільки вона фіксує зірки без мов, належний підклас звичайних мов. Як класичний приклад, мова Parity не може бути виражена за допомогою речення FO. $\;\;=(aa)^*$

Оновлене запитання

Ось нове формулювання мого питання, яке залишається без відповіді.

Яке мінімальне розширення логіки першого порядку таке, що FO + це розширення при переході на рядки фіксує саме клас регулярних мов?

Тут розширення є мінімальним, якщо воно є найменш виразним (при переході над загальними структурами) серед усіх розширень, що охоплюють клас регулярних мов (при переході на рядки).

— Янома
джерело

Якщо я не помиляюся, -calculus дійсно еквівалентний MSO над рядками.

μ

$\mu$

— Сільвейн

@Sylvain, будь-яка посилання? Я нічого не знаю про -рахунку.

μ

$\mu$

— Янома

Це, мабуть, доведено в dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 для нескінченного дерева, а в dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 для еквівалентності фрагменту MSO бісумуляції. над довільними структурами.

— Sylvain

Я дивлюся на другий документ, хоча боюся, що багато концепцій для мене є новими. Зокрема, я не знав про системи перехідних процесів бісумуляції. Схоже, що DFA - це окремі випадки перехідної системи, але я не знаю, чи є вони бісимуляційними. Якщо вони є, це відповіло б частиною мого запитання (може бути ще одна менш виразна логіка для звичайних мов); якщо їх немає, я думаю, що нічого не можна сказати, бо все одно може бути рівнозначність, якщо розглядати лише рядки.

— Janoma

Два кінцевих слова , розглядаються як перехідні системи, схожі, якщо вони є ізоморфними. (У позначеннях другої статті слово

можна розглядати як перехідну систему

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Сільвен

FO (LFP) фіксує PTIME на упорядкованих структурах, а рядки - впорядковані структури. Тож мови, визначені FO (LFP), включають усі звичайні мови та багато іншого. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Макото Каназава
джерело

Відмінно. Я не знаю, що ви розумієте під TC ^ 1 і TC ^ 2, це помилка друку? Наскільки мені відомо, у книзі ви згадуєте позначення, які використовуються як FO (TC) для розширення FO з транзитивним закриттям і FO (DTC) для розширення FO з детермінованим перехідним закриттям , яке визначається по-різному. Я не знайшов вправи, яке ви згадали. Залишається зрозуміти, чи існує оператор менш виразний, ніж ТС, який все ще дозволяє захоплювати звичайні мови. Я відповідно оновлю своє питання.

— Янома

Ця відповідь трохи запізнюється, але відомо, що можна отримати всі та лише звичайні мови, приєднавши до узагальненого кількісного показника групу для кожної кінцевої групи (або рівнозначно для кожної скінченної простої групи). Наприклад, див. "Регулярні мови, визначені кванторами Lindstrom" Золтана Есікі та Кіма Г. Ларсена, за адресою http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Більше того, це оптимально в тому сенсі, що звичайна мова буде визначена лише за умови наявності кількісних показників для кожної групи, що розділяє її синтаксичний моноїд.

— Бен Стендевен
джерело

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

Я знайшов ще кілька посилань, які можуть вас зацікавити.

$^1$

— Макото Каназава
джерело