Модель Барро (2009) рідкісного стихійного лиха в AER: Як отримати рівняння (10)?

У Barro (2009) Рідкісні катастрофи, ціни на активи та витрати на добробут Барро розробляє модель дерева Лукаса з уподобаннями Епштейна-Зіна.

Моє запитання стосується рівняння статті (10). У цьому рівнянні Барро зазначає, що за оптимального рішення корисність $U_t$ пропорційна витраті перевищує потужність , де - коефіцієнт відносної відмови від ризику, тобто $C_t$ $1-\gamma$ $\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Хоча я розумію логіку цього результату, я не розумію, як він виводить константу , що показано у виносці 7 згаданої роботи: $\Phi$

Альберто Джованніні та Філіпп Вейл (1989, додаток) показують, що за функцією корисності в рівнянні (9) досягнута корисність, , пропорційна багатству, піднятому до потужності . Форма в рівнянні (10) випливає тому, що оптимально вибирається як постійне відношення до багатства в iid випадку. Формула для є, якщо , $U_t$ $1-\gamma$ $C_t$ $\Phi$ $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$
$Φ = (\frac{1}{1 - γ}) {ρ + (θ - 1) g^{*} - (1 / 2) γ (θ - 1) σ^{2} - (\frac{θ - 1}{γ - 1}) p [E (1 - b)^{1 - γ} - 1 - (γ - 1) E b]}^{(γ - 1) / (1 - θ)}$ $\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$

Барро цитує документ NBER 1989 року Джованніні та Вайля. У цій роботі я можу вивести константу. Однак це виглядає зовсім інакше, ніж версія Барро, тому що я закінчую виразом, який включає , де - рентабельність власного капіталу. Я вважаю, що Барро замінив рівноважним рішенням . Однак його вираз не включає жодних журналів чи експірантів. $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$ $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$

Буду вдячний за рішення або будь-які натяки на рішення.

macroeconomics finance academic-graduate

— drcms02
джерело

Це виглядає чудово! Дякуємо за ваші зусилля. Знадобиться мені кілька днів, щоб переглянути частину 2 і 3 вашої відповіді, але це виглядає дуже інтуїтивно.

— drcms02

Я думаю, що Барро означає у виносці, що Джованні та Вейл знаходять однакове рівняння, , але використовуючи оптимальний шлях . У роботі Барро підхід відрізняється, враховуючи, що динаміка є екзогенною: за припущенням. $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $C_t$ $C_t$ $C_t=Y_t$

Барро використовує граничний випадок, коли тривалість періоду наближається до 0. Можливо, що може турбувати читача, це те, що модель визначена як дискретна.

Перепишіть модель

Спочатку ми можемо переписати модель з тривалістю періоду а потім використовувати . Динаміка ВВП пише з , і з ймовірністю та з ймовірністю . Утиліта задовольняє $\delta$ $\delta\to 0$

\log (Y_{t + δ}) = \log (Y_{t}) + g δ + u_{t + δ} + v_{t + δ}

$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$

u_{t + δ} \sim N (0, δ σ^{2})

$u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$

v_{t + δ} = 0

$v_{t+\delta}=0$

1 - p δ

$1-p\delta$

\log (1 - b)

$\log(1-b)$

p δ

$p\delta$

U_{t} = \frac{1}{1 - γ} {C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} {[(1 - γ) E_{t} U_{t + δ}]}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}}^{\frac{1 - γ}{1 - θ}} .

$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$

1) Знайдіть як функцію $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Припустимо, тепер є такий, що (зауважимо, що залежить від a priori). Визначте , утиліта задовольняє Підставами : Отже, отримуємо для , $\Phi$ $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $\Phi$ $\delta$ $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

\begin{aligned} H (U_{t}) = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (E_{t} U_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$

U_{t}

$U_t$

\begin{aligned} H (Φ) C_{t}^{1 - θ} = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (Φ) {(E_{t} [C_{t + δ}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

C_{t} \neq 0

$C_t\neq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {(E_{t} [{(\frac{C_{t + δ}}{C_{t}})}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

2) Знайдіть відп динаміки ВВП $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Хитрість полягає в тому, щоб знайти очікування в правій частині динаміки ВВП. Приймаючи очікування та використовуючи незалежність між та , випливає Очікування де випливає є

\begin{aligned} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

u_{t + 1}

$u_{t+1}$

v_{t + 1}

$v_{t+1}$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . E_{t} \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . E_{t} \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

\exp (X)

$\exp(X)$

X

$X$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\exp (σ^{2} / 2)

$\exp(\sigma^2/2)$ . - випадкова величина, що дорівнює з ймовірністю та з ймовірністю . Підставляємо оператор очікування: Нарешті, ми використовуємо для обчислення рівняння для :

\exp ((1 - γ) v_{t + δ})

$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$

1

$1$

1 - p δ

$1-p\delta$

(1 - b)^{1 - γ}

$(1-b)^{1-\gamma}$

p δ

$p\delta$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ)^{2} σ^{2} δ}{2}) . (1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

C_{t} = Y_{t}

$C_t=Y_t$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {\exp ((1 - θ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . {(1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ)}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$

3) Візьміть наближення $\delta\to 0$

Останній крок полягає у прийнятті наближення першого порядку (я зловживаю тримати символ рівності): Здійснюючи додаток першого порядку (усі з можна знехтувати), у нас є Замініть за допомогою

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - (1 - ρ δ) . (1 + (1 - θ) g δ) . (1 + \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . (1 - \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

δ^{i}

$\delta^i$

i > 1

$i>1$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

g

$g$

g^{*} = g + \frac{σ^{2}}{2} - p E b

$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ , Беремо та інвертуємо функцію щоб знайти рішення у виносці 7 статті. Права частина цього рівняння "спрощує" до внутрішньої дужки формули.

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g^{*} δ + (1 - θ) \frac{σ^{2}}{2} δ - (1 - θ) p E b δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

δ = 1

$\delta=1$

H

$H$

— GuiWil
джерело

Модель Барро (2009) рідкісного стихійного лиха в AER: Як отримати рівняння (10)?

Перепишіть модель

1) Знайдіть як функціюE t [ ( C t + δΦΦ\PhiEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

2) Знайдіть відп динаміки ВВПEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

3) Візьміть наближенняδ→0δ→0\delta\to 0

1) Знайдіть як функцію $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

2) Знайдіть відп динаміки ВВП $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

3) Візьміть наближення $\delta\to 0$