На віньєтці "Пані" проти пані Гіперболічна

Я зіткнувся з цією маленькою притчею, яка свідчить про те, чому експоненціальна знижка перевершує гіперболічну знижку ¹ :

Більший похил [кривої гіперболічної знижки] означає, що якщо гіперболічний дискаунтер займається торгівлею з тим, хто використовує експоненціальну криву, вона незабаром позбавиться своїх грошей. Наприклад, пані Експоненціалі могли придбати зимове пальто пані Гіперболік дешево кожної весни, наприклад, оскільки відстань до наступної зими знизило б оцінку пані Н більше, ніж пані Е. Потім пані Е могла продавати пальто пані Н кожної осені, коли наближення зими посилало оцінку пані Н на високий сплеск.

Цифра, на яку посилається уривок, виглядає дещо як та, що показана нижче, найбільш помітною різницею є те, що я додав легенду, щоб вказати, яка крива, яка ² , разом з аналітичною формою фактичних використовуваних функцій дисконту ³ .

Але мені здається, що аргумент, як представлено вище, є помилковим. Зрозуміло, що чия оцінка була б депресивнішою, залежить від часу. Отже, точно такий же аргумент із ролями пані Е та пані Н перетворюється на будь-яку часову точку між точкою, в якій криві перетинаються та вертикальною віссю.

Насправді, для певного вибору коефіцієнтів для гіперболічної та експоненціальної кривих експоненціальна крива є більш пригніченою, ніж гіперболічна за всі моменти часу . Наприклад:

Виявляється, зелена експоненціальна крива вище перетинає гіперболічну криву лише з одним значенням , а саме (тобто на час, позначений вертикальною віссю). Для всіх зелена експоненціальна крива суворо нижче гіперболічної.$t$$t = 0$$t < 0$

Це означає, що якби крива експоненціальної дисконтування пані Е була зеленою, пані Н змогла б швидко змінити її, застосувавши описану у витязі стратегію, і це було б правдою незалежно від тривалості інтервалу часу між купівля та розпродаж зимового пальто .

Підсумовуючи це, аргумент уривку про перевагу експоненціальної дисконтування над гіперболічною дисконтуванням, на мою думку, не тримає уваги.

Тепер я розумію, що уривок не є дуже суворим, і що може бути більш переконливий спосіб продемонструвати перевагу експоненціальної дисконтування над гіперболічною дисконтуванням. Якщо так, то що це? Зокрема, я хочу знати таке:

Як той, хто використовує експоненціальну дисконтування, може скористатися фінансовою перевагою в односторонньому порядку від того, хто використовує гіперболічну дисконтування?

(В односторонньому порядку я маю на увазі, що стратегія доступна лише тому, хто використовує експоненціальну дисконтування по відношенню до сомонеона, який використовує гіперболічну дисконтування, а не навпаки.)

^{1 Я маю на увазі цей уривок на « Розпад волі» (2001) Джорджа Ейнслі (с. 30-31). У мене ж книги немає.}

^{2 Я додав мітки "гіперболічні" та "експоненціальні", відповідно до моєї інтерпретації того, що автор означає під "більшим поклоном". Я не є носієм англійської мови, тому, будь ласка, виправте мене, якщо це тлумачення буде зворотним.}

^{3 Зауважте, що всі ці функції мають в якості доменів. Цей вибір необхідний для того, щоб відповідати зовнішньому вигляду оригінальних кривих. Також я повинен підкреслити, що функціональні форми, які я використовував для всіх цих кривих, є моїми власний, вибраний таким чином, щоб наблизити вигляд початкових кривих.Текст уривку не надає функціональної форми зображених кривих.$(-\infty, 0]$}

Я вважаю, що грошовий насос працює так:

При позичте у Генрі гіперболічний дискаунтер сто доларів на повний проміжок часу . Процентна ставка повинна бути нульовою, оскільки їх дисконтна ставка за кредитами того періоду дорівнює . Для простоти зробіть нульову купонну позику з виплатою, що належить до погашення, і припускайте, що ви обоє згодні, що це кредитний ризик. Тепер перейдіть на один період до . Пропонуйте повернути позику Генрі. Його дисконтна ставка зараз тому відсоткова ставка нижча від тієї, яку він стягуватиме за новою позикою, тому ціна повинна бути вище номіналу. Назвіть ціну . Робіть розпродаж, виривайте позику та кишеню$T=0$$t$$1$$T=\epsilon$$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$. Попросіть новий кредит у сто доларів, знову ж таки, за нульовим купоном, зараз за процентною ставкою на період. Крок вперед ще один період до . Знову ж, щоб ви могли продати це зобов'язання і за більш ніж номінальний ( ). Робіть розпродаж, дістаньте позику та кишеню . Полощіть, помийте та повторіть, поки у них не буде сто доларів, щоб позичити вам.$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

Оновлення: Сподіваємось, це простіший приклад. У кожному періоді ви купуєте T (T 2) період облігації від Генріха Гіперболічного дискаунтера. Ви також продаєте назад Генрі облігацію, яку ви купили у попередньому періоді. Ви будете готові робити це до тих пір, поки період часу не буде достатньо короткий, щоб прибуток від трансакції був досить високим, щоб компенсувати власну ставку дисконту.$\geq$

Розглянемо 2-річну облігацію з перевагами вище. Дворічна дисконтна ставка що менша, ніж дисконтна ставка на 1 рік . Едді експоненціальний дискаунтер готовий позичити готівку Генрі, оскільки прибуток від цієї позики є досить високим, щоб компенсувати його, хоча його швидкість у часі як для кредитів на 1, так і для двох років вища, ніж у Генрі.$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$