Квазілінійні функції корисності

У мене наведена така квазілінійна функція корисності: (при , ).$u_0 = f(x_1) + x_2$$f'>0$$f''<0$

Я знаю, що криві байдужості вертикально паралельні, це означає, що нахил не залежить від споживання $x_2$ . Я припускаю, що ефекту доходу немає, але як я можу це показати?

Ура

Ви можете показати це щодо проблеми оптимізації за допомогою цільової функції та обмеження бюджету . Використовуючи Lagrangian, це призводить вас до Видно, що в цьому спеціальному випадку оптимальна кількість (маршальська функція попиту) не залежить від доходу Отже, ефект доходу дорівнює нулю, і ви не будете споживати різну кількість якщо дохід змінюється.$U_0 = f(x_1) + x_2$$M - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0$

$$f'(x_1) = \frac{p_1}{p_2} \quad \text{or} \quad f'^{-1}(\frac{p_1}{p_2}) = x_1^{*} = D_1(p)$$ $x_1^{*}$$M$ $$\frac{\partial D_1}{\partial M} = 0,$$ $x_1^{*}$$M$

Деякі додаткові міркування: Виходячи з і Хіксіанського функції запиту, ви можете показати деякі цікаві властивості цієї конкретної функції утиліти, використовуючи Слуцьке рівняння: Це показує, що похідна маршальської функції попиту щодо ціни дорівнює похідній функції гіксівського попиту щодо ціни мінус оптимальна рази більше похідна маршальської функції попиту щодо доходу. У цьому спеціальному випадку маршальська функція попиту дорівнює функції попиту Хіксія, як$D_i(p, M) = x_i^{*}$$H_i(p, u) = x_i^{*}$

$$\frac{\partial D_i}{\partial p_i} = \frac{\partial H_i}{\partial p_i} - x_i^{*} \frac{\partial D_i}{\partial M}$$ $x_i^{*}$$\frac{\partial D_i}{\partial M} = 0$ .