Журналінеріалізація рівняння Ейлера з терміном очікування

10

Існує декілька Інтернет-ресурсів, які допоможуть у лінеаризації журналів (наприклад, тут чи тут ). Однак лінеаризація журналів, де задіяно очікування, є дещо складною, оскільки журнал не може просто "пройти" оператора очікування. Чи може хтось допомогти з алгеброю в цьому прикладі?

Маю рівняння Ейлера (рівняння 1) де. Я намагаюся отримати вираз для безризикової ставки та вираз для надбавки за власний капітал. Як я повинен робити це?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

З другого вище посилання видно, що я повинен почати із заміни цікавих змінних на зразок . Потім, виконуючи наведені кроки, здається, що я повинен досягти (рівняння 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Але куди я їхати звідси?

Редагувати:

Я скопіював рівняння 1 безпосередньо з нотаток, які у мене є. Ймовірно, випадок, що термін праворуч, , повинен бути в дужках, . У першій моїй спробі лінеаризації журналу я поставився до цього таким чином. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
У рівнянні 2 я дотримувався кроків в інструкції, які можна знайти у другому посиланні на початку. Отже, і без підписки часу - це ці значення в стаціонарному стані. $R_i$ $R_m$
- рентабельність ринкового портфеля, а - рентабельність активу . $R_m$ $R_i$ $i$

EDIT 2:

Дякуємо за корисні коментарі. Отже, з того, що я зібрав поки що, я повинен отримати щось подібне:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Тоді це означає, що безризикова ставка визначається наступним чином:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Це правильно? А тепер, щоб закінчити питання, як би я виявив премію за власний капітал?

macroeconomics asset-pricing

— етан1410
джерело

Я в дорозі, але ви маєте доступ до книги Галі? Я думаю, що він робить це широко,

— iirc

Ні. Це його книга про монетарну політику? "Грошово-кредитна політика, інфляція та діловий цикл?"

— ethan1410

Остання рівність, яку ви дали (1 над безризиковою ставкою дорівнює очікуванню sdf), завжди відповідає дійсності, тому це хороший знак. Щоб знайти премію за власний капітал, знайдіть ціну на

, вартість претензії на ринок, а потім відніміть ціну безризикового повернення: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

Давайте на даний момент ігноруємо існування очікуваного значення. Якби це було детермінованим налагодженням, лінеаризація через взяття журналів була б простою і без хитрощів посилань, що надаються ОП. Беручи натуральні колоди з обох сторін першого рівняння, отримуємо:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Встановити

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

$\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

$\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Потім

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

$(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Але де знаходяться стаціонарні значення ? Що ж, значення стаціонарного стану в стохастичному контексті трохи хитрі - чи ми стверджуємо, що наші змінні (які зараз трактуються як випадкові величини) стають постійними ? Або є інший спосіб визначення стаціонарного стану в стохастичному контексті?

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

$(7)$ $(3)$

$(4)$

— Алекос Пападопулос
джерело

@jmbejara Це абсолютно правильно . Це очікуване значення укороченого Тейлорського наближення функції першого порядку. Ви не згодні з цим? Чи вважаєте ви це субоптимальним наближенням - інша справа, і це стосується того, за якими критеріями ви використовуєте, щоб оцінити якість та адекватність наближення.

— Алекос Пападопулос

Добре. Ти маєш рацію. Але, як ви кажете, я не впевнений, що найкраще в ситуації. Але, безумовно, є різні способи цього зробити. Однозначно щось можна сказати про упередженість, але ви підкреслите хороший момент. Я скасую голосування, як тільки це дозволить мені.

— jmbejara

3

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

Редагувати:

Для уточнення дивіться, що проекція на $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ . Якщо ми використаємо лемму Штейна для наближення $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
джерело

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

3

Ваша проблема виглядає як рівняння цін на активи з рекурсивними (Епштейн-Зін) уподобаннями. Зацікавившись цінами активів, треба бути обережними зі звичайною "макроекономічною" лінеаризацією. Таке наближення є еквівалентним достовірності, тобто коефіцієнти лінеаризованого розчину не залежать від розмірів ударів. Більше того, всі змінні в лінеаризованому розчині будуть коливатися навколо їх детермінованих стаціонарних станів. Як результат, премія за ризик дорівнює нулю, що не суперечить моменту.

Одне рішення - використовувати методи збурення вищого порядку (2-й порядок для отримання постійних премій за ризик, 3-ий порядок для змін премії). Це легко зробити з наявним програмним забезпеченням (наприклад, Dynare), якщо ви хочете все-таки вирішити модель чисельно (в цьому випадку також немає необхідності лінеаризувати вручну). Якщо замість цього віддається перевагу аналітичному (приблизному) рішенню, звичайним способом є лінеаризація динаміки величин (наприклад, зростання споживання), то отримуйте ціни на активи безпосередньо з рівняння Ейлера, обчислюючи очікування, використовуючи припущення про логічність, як у Bansal & Yaron (2004) .

Наприклад, якщо змінні малі регістри - це журнали, звичайне рівняння Ейлера можна переписати як

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V a r_{t} [m_{t + 1}] + V a r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V a r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

і таким чином ми повинні мати

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Щоб фактично розрахувати ціни на активи, можна було б тоді

експресувати log-SDF як лінійну функцію деяких змінних стану та шоків (наприклад, зростання споживання журналу у випадку CRRA)
лінеаризувати прибуток з точки зору коефіцієнта дивіденду та ціни журналу (наближення Кемпбелла-Шиллера), замінити його на (1).
виразити відношення журналу D / P як лінійне в змінних стану, а потім використовувати метод невизначених коефіцієнтів, щоб отримати для нього рішення, що задовольняє (1).

На практиці це дещо складніше (особливо з преференціями EZ, коли потрібно використовувати підхід спочатку для отримання прибутку на ринку, який потрапляє в SDF, а потім вдруге для іншого повернення), але більше деталей можна знайти, наприклад, у пов'язаній Bansal & Yaron папір.

— ivansml
джерело

1

Саме так. Схоже, плутанина в цій нитці виникла з того, що в наближенні першого порядку рівняння Ейлера для ціноутворення активів не існує премії за ризик. (Коваріація між SDF та поверненням, звичайно, є по суті другим порядком.) Дякую, що це очистили.

— номінально жорсткий