Чи можливо вивести криві байдужості з урахуванням маршальської функції попиту?

У двох хороших світі, чи буде маршальський попит функціонувати так, D(p,m)де p - ціна одного блага, а m дохід приносить функцію корисності або криву байдужості? Якщо так, то як можна вирішити це?

microeconomics utility consumer-theory

— Говард Блек
джерело

Так, за певних умов. Це класична проблема інтеграції : для детальної дискусії див. Чудові замітки Кіма Бордера .

Потрібно кілька інших технічних умов, але найбільш економічно обґрунтованою умовою є те, що матриця Слуцького завжди повинна бути симетричною і від'ємною напівфінітною. Якщо бути конкретним, якщо визначити й елемент матриці Слуцького в що буде тоді ми повинні мати для всіх , а також для будь-якого вектора , ми повинні мати для всіх необхідності $ij$ $(p,m)$

σ_{i j} (p, m) = \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{i} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{i} \sum_{j} σ_{i j} (p, m) v_{i} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ цих умов негайно випливає з базової споживчої теорії, яка показує, що якщо попит маршаллів походить від обмеженого максимізації корисної функції, то матриця Слуцького є симетричною і негативною напівфінітною. Але достатність цих умов (у поєднанні з деякими іншими технічними припущеннями) для нас підтримати функцію корисної програми є складнішою справою, і для отримання деталей я рекомендую замітки Бордера або якесь інше передове мікро-джерело.

Якщо, якщо припустити, що умови Слуцького дотримані , ви хочете, щоб грубим практичним способом (ігноруючи технічні тонкощі) відступити криві байдужості у типовому випадку, який є двома добрими, найпростішим способом є, мабуть, використання ваших знань попиту для визначення компенсуючої зміни у витратах, які необхідно скоригувати на певну зміну цін. Зокрема, для використовуйте тотожність яка, з огляду на знання маршальської функції попиту , є диференціальним рівнянням у видатковій функції . Починаючи з деяких початкових значень які створюють якусь невідому утиліту $i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = h_{i} (p, u) = D_{i} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$ , ми знаємо, що . Тоді, змінюючи , ми можемо інтегрувати вищевказане диференціальне рівняння для щоб отримати для будь-якого . І тоді ми можемо отримати гіксовський вектор попиту для будь-якого .

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

Оскільки всі вимоги Хіксіана відповідають одній і тій же корисності , вони знаходяться на одній кривій байдужості. Змінюючи , ми зможемо простежити безліч різних точок на цій кривій байдужості. Насправді, якщо попит достатньо добре сприйнятий, ми можемо простежити всю криву байдужості, змінюючи достатньо в будь-якому напрямку. (До речі, "відстеження кривих байдужості" - це все, що ми можемо зробити в будь-якому випадку: оскільки кардинальність корисності не має значення для маршальського попиту, ми можемо отримати лише порядкові властивості, такі як криві байдужості та їх упорядкування.) $\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— номінально жорсткий
джерело