Зв'язок між функцією витрат та багатьма іншими!

14

Я не розумію зв'язків між попитом Хіксія, попитом у валрасії (маршал), функцією витрат та функцією непрямої корисності (включаючи функцію значення V (b)). Я вважаю цю тему дуже складною і не можу зрозуміти, як вони співвідносяться один з одним через формальність, яку використовують у наявних у мене книгах!

Я розумію, як отримати непряму корисність, однак мені потрібно бути зручним, щоб показати, як я можу використовувати його для отримання функції витрат та решти, і як вони відрізняються у подвійності!

microeconomics consumer-theory utility

— Ар'є
джерело

14

Виходячи з відмінної діаграми MWG у відповіді Амстелла, основним спостереженням є те, що тримання фіксованими, і є оберненими один до одного . повідомляє нам суму, яку нам потрібно витратити, щоб отримати певну кількість утиліти , тоді як визначає максимальну кількість корисності, яку ми можемо отримати від певних витрат . Щоразу, коли ми хочемо перетворити з корисності на багатство, ми використовуємо ; і коли ми хочемо перетворити багатство на корисність, ми використовуємо . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Усі ключові тотожності можна отримати з цього спостереження. Наприклад, припустимо, ми хочемо отримати тотожність для . Ми вже знаємо відповідну тотожність функції витрат . Щоб перетворити це на тотожність для , підставляємо $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , отримуючи , і диференціюємо відносно . Правило ланцюга передбачає $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ який, якщо розділити наз обох сторін, стає ідентичністю Роя.

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Або припустимо, що ми хочемо отримати рівняння Слуцького, яке дає взаємозв'язок між похідними маршалського та гіксійського попиту (розкладання маршальського попиту змінюється на ефекти заміщення та доходу). Аналогічно вище, ми можемо підставити на маршальський попит щоб отримати . Потім, диференціюючи відносно $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ з обох сторін і застосовуючи правило ланцюга, дає $p_i$ Загалом, я вважаю, що евристичний "перехід міжіза потребою за допомогоюі" дозволяє вам отримати тут майже все. (Аналогічна евристика також корисна, якщо ви коли-небудь матимете справу з системами попиту Frisch, де гранична корисністьвідіграє ту саму роль, якувиконуютьів маршальській та хіксійській системах попиту)

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ теорема оболонки .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— номінально жорсткий
джерело

13

Не впевнений, наскільки це допоможе, але діаграма в Mas-Colell с.75 - це те, про що я завжди маю на увазі, коли виводите ці функції. Я не впевнений, які книги ви використовуєте, але Microeconomics від Mas-Colell та ін. це перехід на аспірантуру. Але я віддаю перевагу мікроекономічному аналізу Варіана. Набагато простіше читати і все ще має важливий зміст, необхідний для роботи на рівні випускників. З мого досвіду, виходячи з якомога більшої кількості валлаських вимог і просто працюючи над цим процесом, мені було зручно з розумінням. Якщо ви шукаєте приклади, я можу застосувати деякі формули, щоб показати вам, як це працює, але ви, здається, це розумієте. У мене також є сторінки та проблеми з практикою, якщо вам також потрібен інший ресурс. Сподіваюся, це допомагає :)

Мікроекономіка: Mas-Colell

Оновлення: Ось декілька проблем з практикою з деяких моїх наборів проблем. Обережно з останнім. Насолоджуйтесь

Якщо можливо, обчисліть хіксійські, валразійські, видаткові та непрямі для кожної з наступних дій:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Редагувати; Оновлення для пояснення №4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Однією з властивостей попиту на Валрасію є те, що закон Валраса дотримується.

$px = w$

Простий спосіб показати, що Закон Вальраса не дотримується, - це просте включення вимог до обмеження доходу.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— Амстел
джерело