Порядкові утиліти та монотонні перетворення

Якщо u (x) є порядковою функцією корисності, яка представляє (слабке) відношення переваг R , потім

(а) будь-яке строго монотонне перетворення u (x) також представляє $ R $, або

(b) будь-яке монотонне перетворення u (x) також представляє $ R $.

Яка правильна пропозиція (a) або (b)?

Я думав, що (б) є правильною відповіддю, але коли я шукав різні джерела в Інтернеті, я знайшов обидва визначення, тому я більше не впевнений.

Я подумав (а) не може бути правильним, тому що умова монотонного перетворення зазвичай формулюється як умовна: F - суворо монотонне перетворення u, якщо виконується наступне: (1) якщо $ u (x) & gt; ), то $ F (u (x)) & gt; F (u (y)) $. Але це не стосується випадку (2) $ u (x) = u (y) $, що представляє xIy. Чи не буде $ F (u (x)) & gt; F (u (y)) $ сумісний з (1) і (2), а представляти xPy? Думаючи про це, однак, здається, що те ж саме, що і (1) з "більшим або рівним", також не зробить цього. Чи сформульовані умови монотонності як бикондикатори? Я збентежений.

Потрібно чітко визначити визначення. Давай візьмемо:

(1) $ u: X до mathbb {R} $ представляє $ $ succsim $ якщо $ u (x) geq u (y) якщо x x succsim y $.

(2) Функція $ h: mathbb {R} mathbb {R} $ є монотонне якщо $ z geq w означає h (z) geq h (w) $. $ h $ є суворо монотонне, якщо $ z & gt; w означає h (z) & gt; h (w) $.

По-перше, зверніть увагу, що кожна строго монотонна функція є монотонною. Чому? Ну давайте $ z geq w $, і є два випадки для перевірки: (i) $ z & gt; w $: застосовується визначення; (ii) $ z = w $: тоді $ h (z) = h (w) $ за визначенням рівності (це тому, що $ mathbb {R} $ є повністю впорядкованою множиною).

Отже, ми відразу бачимо, що ваша умова (b) означає ваше умова (a). Проте (b) є помилковим (я не розумію лінії роздумів Канака, але, звичайно, це неправильно, хоча, можливо, можна обґрунтувати нестандартними визначеннями). Щоб показати, що це неправильно, нам потрібен лічильник. Нехай $ X = {x, y} $ і $ x - succ y $. Тоді $ u (x) = 1 $ і $ u (y) = 0 $ представляють $. Більш того, $ h: z c 0 0 є монотонним перетворенням. Але, $ h (u (x)) = h (u (y)) = 0 $ не має.

Дійсно, цей приклад показує, що він є слабко монотонні перетворення, які руйнують інформацію (вони не повинні бути оберненими), що в термінах подання, вказує на те, що сувора перевага припадає на слабку нерівність.

Показуючи, що (а) має місце, це пряме застосування визначень. (Підказка: покажіть, що сувора монотонність може бути визначена за допомогою двоумовного оператора).