Чому місцеве ненасичення означає, що обмеження є обов'язковим?

Місцеве ненасичення говорить, що для будь-якого $ x в X $ і $ epsilon & gt; 0 $, існує $ y в X $ такому, що $ d (x, y) & lt; epsilon $ і $ U (x) & lt; U (y) $.

Я не розумію, чому це означає, що $ px ^ * = m $ якщо $ x ^ * $ споживча проблема. Якщо ми думаємо про $ x в R ^ 2 $, то випливає, що ви можете знайти $ y $, що є строго кращим у малій околиці $ x $. У цьому випадку, навіть $ x $ знаходиться на $ px = m $, LNS, мабуть, має на увазі, що існує $ y $, який є суворо кращим, ніж $ x $, і що $ y $ не може бути на кордоні, оскільки тільки LNS каже, що зростає напрямок, але не сказано, в якому напрямку він зростає.

У нас є дві ситуації, коли ми знаємо, що переваги локально не насичені. 1) Переваги є монотонними - в даному випадку ми знаємо, що у нас є "хороші" товари, що обов'язково означає, що більше кожного хорошого краще, і таким чином споживач хоче вичерпати свій дохід 2) Переваги не є монотонними - це дозволяє існування "поганих" товарів, але це не означає, що всі товари погані, тому що це означає, що в околицях походження не існує жодного комплекту (нічого хорошого не споживається, тому що всі вони погані. ), що є кращим по відношенню до походження, таким чином, ми досягаємо в блаженстві / точці насичення, порушуючи припущення ЛНС. Отже, нам потрібно, принаймні, одне благо, що не погано. У цьому випадку споживач не витрачає нічого на всі «погані» товари і вичерпує весь свій дохід на одне благо, що дає йому позитивну корисність.

ВП правильно вказуючи на те, що "місцеве несатіація (LNS) говорить лише про те, що (корисність) зростає, але не говорить, в якому напрямку вона зростає". А саме, ми розважаємо можливість мати справу з "басами" і не тільки з "товарами". Книга МГГ «Мікроекономічна теорія» стор. 43 Рисунок 3.В.1 зображує саме таку ситуацію.

Але це є випадок, що, коли набір пакетів дорівнює $ mathbb R _ + $, Під LNS не всі предмети можуть бути басами . Тому що, нульовий вектор буде точкою насичення (і тому це порушує припущення LNS).

Отже, використання неотрицательных кількостей елементів і введення LNS змушує нас розглядати лише ті випадки, коли хоча б один елемент у розшаруванні є хорошим, а не поганим, у цьому випадку "більше краще" для цього пункту.

Тоді можна довести, що місцеве ненасичення передбачає вичерпання наявного бюджету.

Ad absurdum, припустимо, що $ px ^ * & lt; м $. Під LNS для кожного $ epsilon & gt; 0 $ , існує $ y (epsilon) $, що краще, ніж $ x ^ * $. Якщо деякий $ y (epsilon) $ здійсненний, $ py (epsilon) leq m $, то $ x ^ * $ не може бути оптимальним вибором у першу чергу.

Тому питання: чи можливо це все $ y (epsilon) $, які є кращими для $ x ^ * $ в LNS, неможливі, $ py (epsilon) & gt; m, \ t все епсілон> 0 $?

Я здогадуюсь OP можу взяти це звідси.