Однорідний ступінь першого за функцією корисності.

Питання

Моє рішення полягає в наступному. Будь ласка, перевірте моє рішення. Якщо я помиляюся, скажіть, будь ласка. Я справді не впевнений у своєму рішенні. Дякую

U (x) є однорідним першим ступенем, тобто u (tx) = tu (x)

По-перше, я показую, що функція непрямої корисності є однорідною за ступенем перша в m.

За допомогою максимальної корисності

V (p, m) = max u (x) за умови px $\le$ m

tv (p, m) = max tu (x) за умови px $\le$ m

Оскільки u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) за умови px $\le$ m

Тоді v (p, tm) = tv (p, m)

Тобто функція непрямої корисності є однорідною за ступенем перша.

Я показую, що видаткова функція є однорідною за ступенем один у u, використовуючи попередній результат.

я знаю це

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Оскільки u (x) є однорідним першим ступенем, а v (p, m) однорідним ступенем один у m, v (p, e (p, u)) повинні бути гомогенними ступеня один в e (p, u) .

Іншими словами, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) виконується iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

тобто дорога функція e (p, u) є однорідною за ступенем одиниці u.

Тепер я покажу, що маршалський попит x (p, m) є однорідним ступенем першим у m.

За особою Роя,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

За першим результатом, оскільки v (p, m) однорідний за ступенем один у m, то x (p, m) є однорідним за ступенем одиниці в m.

тепер покажемо, що попит хіксія є однорідним за ступенем у.

я знаю це

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Оскільки e (p, u) однорідний за ступенем один на другу частину,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) має виконуватися, оскільки існує рівність (1).

Тобто попит хіксія є однорідним за ступенем один у.

— none009
джерело

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

Те, як ви показуєте, що однорідне за ступенем один у є правильним, але причина, чому це означає, що однорідна за ступенем один в , не дуже точна у вашому аргументі . Наприклад, подвійність говорить нам де є лише цільовим рівнем корисності, але не повинно бути як у вашому доказі. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Ось один з можливих способів продовження: Оскільки однорідний за ступенем один у , його можна записати як Застосовуючи рівність дає чого чітко випливає, що є однорідним ступеня в . Ви можете використати подібний аргумент, щоб довести однорідність попиту Хіксія. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

З урахуванням сказаного, я пропоную вам довести первісну заяву безпосередньо, використовуючи визначення функції витрат та попиту Хіксіяна. Наприклад,

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Зівей Ван
джерело

В порядку спасибі. Я це роблю і для попиту хікси. Будь ласка, перевірте моє рішення, а також щодо попиту хіксьян. ще раз нормалізуємо m = 1. І . Оскільки то у мене є отже, оскільки e (p, u) є однорідним за ступенем один у, то і попит хіксія є гомогенним за ступенем один і u. Чи це правильно? Будь ласка, перевірте ще раз дорогий @ZiweiWang велике дякую :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Зауважте, що ви підключили , так (тобто не повинен відображатися у вашому вираженні .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang