Пошук економії в моделі перекриття поколінь

Я не бачив цього запитання ніде, тому я ставлю його тут на випадок, якщо хтось інший (сподіваюся) може допомогти мені дійти до відповіді. У двох словах, моє питання: як ми можемо досягти функції збереження в канонічній OLG з утилітою Cobb-Douglas?

Я поясню своє питання більш детально: У оригінальній моделі OLG Diamond він описує заощадження як функцію заробітної плати та процентної ставки, так що:

$$s_t=s_t(w_t,r_{t+1}).$$

Більш конкретно, коли утиліта є Cobb-Douglas:

$$U = (1-\beta) \cdot ln (C_{1,t}) + \beta \cdot ln(C_{2,t+1})$$

Діамант робить висновок, що норма економії - це фіксоване відношення ставки заробітної плати, таке: Той самий висновок можна знайти в більшості онлайн-посилань, що висвітлюють канонічну OLG (наприклад, тут ).

$$s_t= \beta \cdot w_t$$

Однак я ніде не зміг знайти пояснення того, як можна дійти до цього рівняння для економії . Більшість посилань, які доступні в Інтернеті, як і те, з яким я щойно пов’язаний, просто представляють формулу без пояснення щодо її виведення. Тим часом, у своєму первісному документі Даймонд, схоже, підходить до цього висновку (на сторінці 1134), не маючи покрокового пояснення того, як він дійшов до цього результату у справі Кобба-Дугласа.

Може хтось може допомогти мені зрозуміти, як виникає цей результат?

(Моя мотивація запитати, що я хочу зрозуміти, що трапилося б із споживанням в канонічній моделі OLG, якби ми доповнили заробітну плату екзогенним джерелом доходу "А", щоб споживання молодих людей на час "т" дало : ).$C_{1,t} = w_t -s_t + A$