Виведення граничних рішень у програмі Maximization

Розв’язання основної задачі з максимальної корисності, тобто

$$\begin{align} max_{x\geq 0} u(x) \\ s.t. \,\,\, p^Tx\leq w \end{align}$$

ми отримуємо умову першого замовлення Куна-Таккера

$$\begin{gather} \frac{\partial u(x)}{\partial x_l}\leq \lambda p_l \end{gather}$$

яка дорівнює з рівністю, коли $x_l > 0$ , тобто коли рішення є внутрішніми.

Чи достатньо сказати, що оскільки переваги вважаються одноманітними, ми можемо виключати можливість крайових рішень і, таким чином, ми безпечні у встановленні FOC із знаком рівності?

Ні, це не так.

Простий контрприклад -

$$\begin{align*} \max_x \hskip 10pt & x_1 + x_2 \\ \\ \text{s.t.} \hskip 10pt & x_1 + 2x_2 = 10. \end{align*}$$ $(x_1,x_2) = (10,0)$

---

Сказане дає відповідь на питання, але варто зазначити, що визначити достатню умову (яка не надто сильна) видається важкою.

Навіть опуклість недостатня. (Вища функція корисності є опуклою, і її можна зробити суворо опуклою з надзвичайно легким вигином.)

Схоже, вам доведеться порівнювати градієнти кривої рівня при всіх можливих кутових рішеннях з градієнтом встановленого бюджету, але це не дуже допомагає вам у великих розмірах.

Однією достатньою умовою для внутрішніх рішень із суто позитивними цінами та доходами, які іноді спрацьовують, є те, що кожний комплект у внутрішній частині товарного простору (пачка, що містить строго позитивні кількості всіх товарів) віддається перевагу перед кожним пакетом на межі товарного простору. (пачка, яка містить нуль деякого товару). Прекрасними прикладами є функції утиліти Кобба-Дугласа .

$u:\mathbb{R}^2_+\to\mathbb{R}$

$$u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}.$$