Допоможіть зрозуміти множники Лагрангія?

10

Я намагаюся зрозуміти множники Лагранжа і використовую приклад проблеми, яку я знайшов в Інтернеті.

Налаштування проблеми:

Розглянемо споживача з функцією корисності , де . Припустимо, цей споживач має багатство і ціни . Це все, що нам дали. $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ $\alpha \in (0,1)$ $w$ $p =(p_x,p_y)$

Робота, яку я виконував:

Потім я визначив рівняння бюджетного обмеження: . Потім я визначив асоційовану Lagrangian для проблеми максималізації споживача: . $w = xp_x + yp_y$ $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Моє запитання:

Що це рівняння дозволяє мені зробити? Хоча я встановив це за формулою на сторінці Вікіпедії про множники Лагранжа, я справді не маю уявлення, яка мета цього рівняння. Наче я не розумію, як дане рівняння дозволяє мені визначити, як максимально використовувати свою корисну функцію.

Примітка: я знайомий з багатовимірним численням і лагранжанами ( ) з фізики, але цей метод для мене новий. $L = T -V$

utility

— Стен Шунпік
джерело

2

Ви можете попросити запитати це на сайті math.stackexchange.com, якщо ви не отримаєте хорошої відповіді тут! Хороше питання.

— 123

8

Функція обмеженої оптимізації максимально збільшує або мінімізує об'єктивну об'єкт до одного або декількох обмежень. Як я розумію, підхід множника Лагрангія перетворює обмежену задачу оптимізації (I) в необмежену задачу оптимізації (II), де оптимальні значення керування для проблеми II є також оптимальними значеннями управління для задачі I. Крім того, цільові функції проблеми I і II приймають однакові оптимальні значення. Трюк - це розумний спосіб ввести обмеження безпосередньо в цільову функцію, а не використовувати їх окремо.

Я погоджуюся з вашою презентацією проблеми максимізації споживача: . $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Тепер візьмемо часткові похідні відносно x a y, встановимо їх рівним нулю, а потім розв’яжемо для x * і y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (eqn 1)

Відновіть рівняння бюджетного обмеження, взявши часткову похідну . $\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (eqn 2)

Тепер у нас є два рівняння та дві невідомі (x, y) і можемо розв’язати для x * і y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (результат 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (результат 2)

Результати 1 і 2 утворюють відомі постійні частки витрат на корисні та виробничі функції Кобба-Дугласа. Яке також можна явно вирішити для x * і y *: та які є оптимальними значеннями як для так і для початкових задач. $x^* = \alpha w /p_x$ $y^* = (1-\alpha) w /p_y$

— BKay
джерело

Що стосується вашого останнього речення, чому ми не вирішуємо також для ? Я визнаю, оскільки є порядком (він же ступінь) 1 у , беручи часткову похідну видаляє оскільки її похідна природно 1 і, таким чином, не стає змінною. Це навмисно?

λ

$\lambda$

Λ (x, y, λ)

$\Lambda(x,y,\lambda)$

λ

$\lambda$

\frac{\partial Λ}{\partial λ}

$\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}$

λ

$\lambda$

— Стен Шунпік

Я розширив відповідь і сподіваюся, це трохи зрозуміло. Так, ви використовуєте , саме так ви відновите рівняння бюджету і в кінцевому підсумку вирішите для оптимальних значень x і y. Але ви насправді не вибираєте лямбда. Ви можете вибрати лише x і y. закінчується більше як ціна (тіньова ціна), ніж змінна вибору.

\partial Λ / \partial λ

$\partial \Lambda / \partial \lambda$

λ

$\lambda$

— BKay

Це очистило це. Дякуємо за уточнення. Я працював на прикладі тут: math.stackexchange.com/questions/674/…, але якимось чином насправді число збентежило мене. Бачити змінні має більше сенсу.

— Стен Шунпіке

@BKay Як отримати ?

\frac{y p_{y}}{w} = \frac{x p_{x}}{w (α - 1)}

$\frac{y p_y}{w}=\frac{x p_x}{w(\alpha - 1)}$

— Mathemanic

5

Це для інтуїції, а не для суворості, і припускаємо, що ми знаємо, яким способом ви хочете відступити від обмеження. Тут легко; Ви хочете витратити більше коштів , тому ми закликаємо Лагранж, щоб він дисциплінував витрачати а не більше. Подумайте про проблему, виконавши наступні кроки: $w$

Ви хочете піти і вживати піцу ( ) та пиво ( ), а також попросити батьків взяти кредит у кредитну картку. $x$ $y$
Ваші батьки вас знають, тож за допомогою кредитної картки ви отримуєте таке попередження: якщо ви витратите більше, ніж , ми дозволимо нашому злому сусідові містеру Лагранжу поцупити пальці, доставляючи біль на суму комунальних одиниць за долар, який ви витратили. $w$ $\lambda$
Подивіться на лагранжанина; тепер це ваша утиліта за вирахуванням штрафу, як функція піци ( ), пива ( ) і болю ( ). З вашої точки зору, ви просто максимізуєте це для даної (це означає, зокрема, що якщо дуже маленький, перевищення вашого бюджету в цілому буде вартим невеликої кількості ляпасів від містера Лагранжа). $x$ $y$ $\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$ $\lambda$ $\lambda$
З точки зору ваших батьків, вони хочуть пристосувати до тієї кількості, яка змушує вас добровільно вирішити точно витрачати , залишаючи містера Лагранжа в страху. (Вибір вищого призведе до того, що ви не витратите на витрату, ви можете відповідно скоригувати інтерпретацію.) $\lambda$ $w$ $\lambda$
Звичайно, тоді ви виберете саме той рівень, коли вам байдуже між тим, що матимете та не матимете пакет додаткових витрат та штрафів. Звідси і тіньова інтерпретація цін: - це точніше: приблизний показник першого порядку - скільки б ви були готові платити - в тих же одиницях, що і ваша цільова функція! щоб ваш бюджет збільшився. $\lambda$

Щодо пропозиції змінити знак обмеження: звичайно, це працює математично, але я навряд чи використовую його для цілей навчання; залишаючи його таким, яким він є, виставляє обмеження (яке вам не подобається, це зменшує вашу корисність) як еквівалент податку (який вам не подобається з тієї ж причини) . З економічної точки зору, ви отримуєте уявлення про обмеження, що застосовуються податком, і це повчально, наприклад, моделювати податки Пігува, що інтерналізують (небажані негативні) зовнішні дії. $u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

— Нільс
джерело

5

Використання множників Lgrange для оптимізації функції в умовах обмежень є корисною технікою , хоча, врешті-решт, вона надає додаткову інформацію та інформацію. Дотримуючись випадку обмеження рівності, проблема

max_{(x, y)} u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

s.t. w = p_{x} x + p_{y} y

$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$

можна, звичайно, перетворитись в необмежену проблему шляхом прямої підстановки:

max_{y} u (x, y) = {(\frac{w - y p_{y}}{p_{x}})}^{α} y^{1 - α}, α \in (0, 1)

$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$

Але в цілому пряма підміна може створювати громіздкі вирази (особливо в динамічних задачах), де алгебраїчну помилку буде легко зробити. Тож метод Лагранжа має тут перевагу. Більше того, множник Лагранжа має змістовне економічне тлумачення. У цьому підході ми визначаємо нову змінну, скажімо , і формуємо "функцію Лагранжа" $\lambda$

Λ (x, y, λ) = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - p_{x} x - p_{y} y)

$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$

По- перше, відзначимо , що це еквівалентно з , так як додана частина праворуч тотожно дорівнює нулю. Тепер ми максимізуємо Лагранжева відносно двох змінних і отримуємо умови першого порядку $\Lambda(x,y,\lambda)$ $u(x,y)$

\frac{\partial u}{\partial x} = λ p_{x}

$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$

\frac{\partial u}{\partial y} = λ p_{y}

$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$

Рівняючи через , це забезпечує швидке принципове відношення $\lambda$

\frac{\partial u / \partial x}{\partial u / \partial y} = \frac{p_{x}}{p_{y}}

$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$

Це оптимальне співвідношення разом із обмеженням бюджету забезпечують систему двох рівнянь у двох невідомих і таким чином забезпечують рішення як функцію екзогенних параметрів (параметр корисності , ціни і задане багатство ). $(x^*, y^*)$ $\alpha$ $(p_x,p_y)$ $w$

Щоб визначити значення , помножте кожну умову першого порядку на і відповідно, а потім підсумовуйте по сторонах, щоб отримати $\lambda$ $x$ $y$

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = λ (p_{x} x + p_{y} y) = λ w

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$

З корисністю, однорідною за ступенем перша, як це має місце з функціями Кобба-Дугласа, ми маємо це

\frac{\partial u}{\partial x} x + \frac{\partial u}{\partial y} y = u (x, y)

$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$

і так в оптимальному пакеті, який ми маємо

u (x^{*}, y^{*}) = λ^{*} w

$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$

Ось так множник Лагранжа набуває економічно осмисленої інтерпретації: його значення полягає в граничній корисності багатства . Зараз, в контексті порядкової корисності, гранична корисність насправді не має сенсу (див. Також обговорення тут ). Але вищевказана процедура може бути застосована, наприклад, до проблеми мінімізації витрат, коли множник Лагранжа відображає збільшення загальної вартості шляхом граничного збільшення кількості виробленої продукції, і так це граничні витрати.

— Алекос Пападопулос
джерело

Це було чудовим поясненням. Запитання: на сторінці Вікіпедії про множники Лагрангія зазначено , що не всі стаціонарні точки дають рішення вихідної проблеми. Таким чином, метод множників Лагранжа дає необхідну умову для оптимальності в обмежених задачах. це означає, що термін "максимізація" є невірним? Тому що я вважав необхідним не означає достатнє, а зворотне.

— Стен Шунпіке

@StanShunpike Дійсно, вони просто необхідні. Вони стають достатніми, коли об'єктивна функція та обмеження мають певні властивості. Наприклад, з лінійними обмеженнями і квазі увігнутою цільовою функцією їх також достатньо.

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos Іншим способом написання є функція непрямої корисності , правильно? Таким чином, якщо я не помиляюся, це додаток теореми конвертів, ні?

u (x^{*}, y^{*})

$u(x^*,y^*)$

v

$v$

— Mathemanic

2

Я рекомендую вам опрацювати цей відповідь, абзац за абзацом, переконуючись, що ви отримали кожен із них по черзі, або ви заплутаєтесь. Ви навіть можете ігнорувати пізніші, якщо це не потрібно для вашої мети.

Основна ідея почуття полягає в тому, що якщо точка є умовою всієї крайності, то це обов'язково стаціонарна точка лагранжана, тобто така точка, що всі часткові похідні лагранжана в ньому нульові. Щоб вирішити проблему, слід визначити всі стаціонарні точки, а потім знайти максимум серед них.

Однак загалом цей рецепт не є надійним, оскільки максимум може не існувати. Зазвичай ви можете перевірити його існування за допомогою теореми Вейерштрасса. Це вимагає, щоб художня література була безперервною, а набір компактним, що і тут. Загалом це означає, що вам потрібно перевірити будь-які граничні точки відповідної множини, точки та точки . $x= 0$ $y = 0$

У цьому випадку ваше рівняння недостатньо для рішення, оскільки множина, яку ви розглядаєте, визначається нерівностями, а не рівностями. Ви можете вказати, що функція є монотонною у та , тому максимум знаходиться на верхній правій межі. Також утиліта дорівнює 0, якщо або , тоді як є можливі точки, де вона є абсолютно позитивною, тому максимум не можна досягти ні на лівій, ні на нижній межі. Тоді такий підхід цілком виправданий. $x$ $y$ $x = 0$ $y=0$

Надалі ви повинні усвідомлювати цю проблему, якщо такий тип повинен бути вирішений загалом, застосовуючи теорему Куна-Таккера, і я рекомендую вам ознайомитися з нею після того, як ви зрозумієте цей матеріал.

— Микита Торопов
джерело

2

Як зазначали інші, суть методу Лагранжа полягає в перетворенні задачі з обмеженим екстремумом у таку форму, щоб можна було застосувати FOC проблеми з вільним екстремумом. Під час налаштування ви перетворили необмежену проблему ( ) у: $\max u(x,y)$

Λ = x^{α} y^{1 - α} + λ (w - (x p_{x} + y p_{y}))

$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$

Якщо припустити, що обмеження буде дотримано, тобто , то останній доданок зникне незалежно від значення , так що буде ідентичним . Хитрість полягає в трактуванні як додатковій змінній вибору, максимізуючи таким чином . Оскільки умовою першого замовлення для є $xp_x+yp_y=w$ $\lambda$ $\Lambda$ $u$ $\lambda$ $\Lambda(x,y,\lambda)$ $\lambda$

\frac{\partial Z}{\partial λ} = w - (x p_{x} + y p_{y}) = 0

$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$ ми можемо бути впевнені у задоволенні обмеження та зникненні .

λ

$\lambda$

Що стосується інтерпретації з (множник Лагранжа), в широкому економічному плані це тіньова ціна від - го обмеження. У ваших налаштуваннях, де існує лише обмеження бюджету, тіньова ціна - це альтернативна вартість бюджетного обмеження, тобто гранична корисність бюджетних грошей (доходів). $\lambda_i$ $i$

Ще один спосіб переконатися в тому, що вимірює чутливість до змін (бюджетного) обмеження. Насправді в Росії можна це довести $\lambda$ $\Lambda$

\frac{d Λ^{*}}{d w} = λ^{*}

$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$

Зауважте, що для такої інтерпретації щоб мати сенс, ви завжди повинні виражати обмеження як , а не як (як ви писали під час налаштування). $\lambda^*$ $w-(xp_x+yp_y)$ $(xp_x+yp_y)-w$

— хан-тюмі
джерело