Пошук функції попиту, що задається функцією min (x, y)

Мене бентежить конкретний момент щодо пошуку функції попиту. Всі проблеми в цій практиці, яку я виконую, пов'язані із застосуванням методу множників Лагрангія. Але я не впевнений, чи застосовуватиметься він до цієї проблеми.

Налаштування проблеми

Розглянемо споживача з корисними функціями $u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$. Припустимо, нам дають багатство та ціни .$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Моя робота

Не багато ще робити. Все, що я зробив, було встановити обмеження бюджету .$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$

Моя плутанина

Я був готовий налаштувати рівняння множника Лагрангія, коли раптом зрозумів, що моя функція корисності - це функція . Спочатку я вважав, що ця функція не є диференційованою. Зараз я думаю, що це не є диференційованим, але частково диференційованим. Я все ще не впевнений.$\min$

Моя здогадка

Підозрюю, що так є частково диференційованим на основі цієї нитки$\min$

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Але я підозрюю, що для моєї відповіді знадобиться детальна складова чи щось таке.

Моє запитання

Чи застосовуються тут лагранжеві множники? Якщо так, то як я можу визначити лагранжана кусково, як я думаю, що мені потрібно буде це зробити? Якщо це не є диференційованим, як виводити функцію попиту, задану функцією або ?$\min$$\max$

Ні, тут слід використовувати не множники Лагранжа, а здорове мислення. Припустимо, , скажімо, для конкретності . Нехай . Тоді Тож споживач міг би зменшити споживання гарних 2, не погіршившись. З іншого боку, для всіх ми мали б , щоб споживач міг бути кращим за рахунок зменшення споживання другого блага і витрачання звільнених грошей на перше благо. В оптимальному варіанті, споживач не може покращитись, тому для оптимальності потрібно . Зрозуміло також, що споживачі покращуються вздовж$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 ° промінь. Таким чином, ви можете просто використовувати як умову оптимальності, щоб бути заміненим у вашому бюджетному обмеженні та обійти множники Lagrange.$x=y$