Чи є спосіб зв’язати теорему Берге від максимуму з теоремою огинаючої?

8

Теорема Берже говорить

Дозволяє $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ , $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ бути спільною безперервною функцією, $C : \Theta \rightrightarrows X$ бути безперервним (як верхнім, так і нижнім півконечним) компактним значенням відповідності. Функцією максимального значення та максимізатором є Тоді є безперервним і - верхня півкільчаста.
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Згідно з мікроекономічним аналізом Варіана (1992), стор. 490, теорема конверт просто:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ - максимізатор $f(\cdot, a)$ .

Мені здається, теорема Конверт тягне за собою теорему Берже, але деривація виглядає набагато простіше. Чи є стосунки між ними?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Епікур
джерело

Це не схоже на те, що вони зайняті однаковою ціллю. Берже встановлює властивості функції значення та набору максимізаторів. Конверт стосується того, щоб показати, який ефект змінюється параметр ... можливо, ви могли б детальніше розглянути тип зв'язку між двома, що вас заінтригує.

— Алекос Пападопулос

@AlecosPapadopoulos Вибачте за невизначеність мого питання. Тепер я дізнався, що цей квест випливав із моєї неясної пам’яті щодо пропозиції 2 у Лукасі (1978). Тепер я можу це сформулювати точніше. Які умови щодо функції корисності та обмежень дозволяють нам застосовувати теорему огинаючої лише після того, як ми встановили функцію безперервності значення за теоремою Берже? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Епікур

Я не думаю, що вам потрібно «встановлювати безперервність функції значення», щоб використовувати теорему огинаючої. Думаємо, ключовою частиною є пункт про керування . Дивіться теорему 2 на сторінці Вікіпедії. Там безперервність V - результат. У будь-якому випадку на сторінці Вікіпедії повністю викладено теореми. Він розповість, що вам потрібно припустити, щоб використовувати теорему. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

6

Вони пов'язані між собою і зазвичай підпадають під одну дискусію, але як згадує @Alecos у коментарях, дві теореми показують різні речі.

Я вважаю, що з'єднання, яке ви шукаєте, полягає в тому, що якщо похідна , тоді, оскільки диференційованість передбачає безперервність, ви могли б отримати частину теореми максимуму з неї. Однак, для порівняння та порівняння двох теорем, ви не повинні просто дивитись на результати. Потрібно також переглянути припущення. Наприклад, теорема про максимум не передбачає будь-якої диференціації. Теорема огинаючої (хоча б деякі її форми). У будь-якому випадку припущення, які входять в кожне, різні (деякі сильніші, деякі слабкіші).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Також є таке. Теорема огинаючої не говорить вам про те, що стосується функції керування. Тому ви точно не зможете отримати результат, що є верхнім півспинним. $C^*$

— jmbejara
джерело

4

Цитуючи ОП з коментаря

Які умови щодо функції корисності та обмежень дозволяють нам застосовувати теорему огинаючої лише після того, як ми встановили функцію безперервності значення за теоремою Берже? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

У посиланні Lucas (1978), пропозиція 1 встановлює це

введіть тут опис зображення

де - значення значення, а - його визначення. Отже, здається, що саме тут умовою виділяється наступність функції Ціна, але раніше у статті Лукас визначає функцію Утиліта як негативну функцію, яка є $v(z,y;p)$ $(i)$

безперервно диференційований, обмежений, зростаючий і строго увігнутий

Пропозиція 2 статті встановлює диференційованість функції значення, не вимагаючи подальших припущень.

— Алекос Пападопулос
джерело