Як я можу отримати функцію виробництва Леонтьєфа та Кобба-Дугласа за допомогою функції CES?

У більшості підручників з мікроекономіки згадується, що виробнича функція постійної пружності заміни (СЕС),

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(де пружність заміщення $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$ ) має свої межі як виробнича функція Леонтія, так і функція Кобба-Дугласа. Зокрема,

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - а}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Але вони ніколи не надають математичного підтвердження для цих результатів.

Може хтось, будь ласка, надати ці докази?

Крім того, вищевказана функція CES включає в себе постійне повернення до масштабу (однорідність першого ступеня), завдяки зовнішньому показнику . Якби це було, скажімо, , то ступінь однорідності був би . $-1/\rho$ $-k/\rho$ $k$

Як впливають граничні результати, якщо ? $k\neq 1$

— Гусейін
джерело

Здається, це питання домашнього завдання без попередніх зусиль для його вирішення, дивіться: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

Це, звичайно, тематика, але питання низької якості . Навіть якщо це не домашнє завдання Хусейна, ми очікуємо від вас: а) Будьте уважні до свого позначення (ви використовували і ) і b) Викладіть деякі думки та способи, якими ви намагалися вирішити проблему. Ми тут, щоб допомогти людям, які допомагають собі , а не пропонувати професійні послуги про добро.

ρ

$\rho$

p

$p$

— Алекос Пападопулос

Математика робить все по-різному, щоб значною мірою реалізувати всю решту мережі stackexchange. Лише на math.se ви можете подавати проблеми, щоб вирішити інших людей, не докладаючи зусиль. Збережіть таке питання для math.se, не тут.

— EnergyNumbers

Коли ви говорите «мені потрібно доводити», не маючи вказівки на те, чому потрібно доводити це, люди збираються вважати, що це домашнє завдання.

— Стівен Ландсбург

@Huseyin Тепер, коли питання було повторно відкрито, і відповідь надана, чи не опублікуєте ви свою відповідь на обмеження Кобба-Дугласа?

— Алекос Пападопулос

Відповіді:

Наведені нами докази ґрунтуються на техніках, що мають відношення до того, що виробнича функція СЕС має форму узагальненого середньозваженого середнього значення .
Це було використано в оригінальній статті, де було введено функцію CES, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961). Заміщення капіталу та робочої сили та економічна ефективність. Огляд економіки та статистики, 225-250.
Автори там посилали своїх читачів на книгу Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952). Нерівності , глава . $2$

Розглянемо загальний випадок

Q_{к} = γ [а К^{- ρ} + (1 - а) L^{- ρ}]^{- \frac{к}{ρ}}, к > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{к} = \frac{1}{[а (1 / К^{ρ}) + (1 - а) (1 / L^{ρ})]^{\frac{к}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Обмеження, коли $\rho \rightarrow \infty$
Оскільки нас цікавить межа, коли ми можемо ігнорувати інтервал, для якого , і трактувати як строго позитивний. $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Не втрачаючи загальності, припустимо . Маємо також . Тоді ми перевіряємо, чи виконується наступна нерівність: $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ $K, L >0$

(1 - а)^{к / ρ} (1 / L^{к}) \leq γ Q_{к}^{- 1} \leq (1 / L^{к})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - а)^{к / ρ} (1 / L^{к}) \leq [а (1 / К^{ρ}) + (1 - а) (1 / L^{ρ})]^{\frac{к}{ρ}} \leq (1 / L^{к}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

піднімаючи всюди до сили щоб отримати $\rho/k$

що дійсно має місце, очевидно, з огляду на припущення. Потім поверніться до першого елементаі

\begin{matrix} (2) & (1 - а) (1 / L^{ρ}) \leq а (1 / К^{ρ}) + (1 - а) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - а)^{к / ρ} (1 / L^{к}) = (1 / L^{к})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

який бутербродів середнього члена в до , так $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{к} = \frac{γ}{1 / L^{к}} = γ L^{к} = γ [хв {К, L}]^{к} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

Отже для ми отримуємо основну функцію виробництва Леонтьєва. $k=1$

2) Обмежте, коли $\rho \rightarrow 0$
Запишіть функцію, використовуючи експоненціальну як

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{к} = досвід {- \frac{к}{ρ} \cdot \ln [а (К^{ρ})^{- 1} + (1 - а) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

Розглянемо розширення Маклауріна першого порядку (розширення Тейлора з центром нуля) терміна всередині логарифму стосовно : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

Вставте це назад у і позбудьтесь зовнішньої експоненції, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

Якщо він непрозорий, визначте і перепишіть $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Тепер це схоже на вираз, обмеження якого у нескінченності дасть нам щось експоненціальне:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

Ступінь однорідності функції зберігається, і якщо отримаємо функцію Кобба-Дугласа. $k$ $k=1$

Саме цей останній результат , який зробив Стрілець і Ко назвати параметр «розподілу» функцій CES. $a$

— Алекос Пападопулос
джерело

Регулярним методом отримання Кобба-Дугласа та Леотьєфа є правило Л'Хопіталя .

Слід застосувати й інші методи. Встановлення буде повернутим $\gamma=1$ і За загальною похідною через диференціали у нас буде $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

Q^{- ρ} = [а К^{- ρ} + (1 - а) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ Q^{- ρ - 1} г Q = - а ρ К^{- ρ - 1} г К - (1 - а) ρ L^{- ρ - 1} г L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$ З деякими манупуляціями вийде наше основне рівняння.

г Q = а {(\frac{Q}{К})}^{1 + ρ} г К + (1 - а) {(\frac{Q}{L})}^{1 + ρ} г L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

Лінійна функція : $\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Функція Кобба-Дугласа : Прийняття інтегралу з обох сторін призведе до отримання

lim_{ρ \to 0} г Q \Rightarrow \frac{1}{Q} г Q = а (\frac{1}{К}) г К + (1 - а) (\frac{1}{L}) г L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$

\int \frac{1}{Q} г Q = а \int (\frac{1}{К}) г К + (1 - а) \int (\frac{1}{L}) г L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

Q = К^{а} L^{(1 - а)} е^{С} = А К^{а} L^{(1 - а)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Функція Леонтія : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Гусейін
джерело

(+1) Мені особливо подобається, як отримується функція Кобба-Дугласа.

— Алекос Пападопулос

Дякую @AlecosPapadopoulos. але я не знаю, чому деякі особи ще не подобаються цьому посту? Я думаю, що подібний тип питань може принести штурм мозку принаймні для мене.

— Гусейін

Власне кажучи Гусейном, вони праві: ви мали б включити хоча б частину своєї відповіді у своє запитання : "ось мій спосіб робити, чи є інший спосіб?"

— Алекос Пападопулос

Чи приймає диференціал і інтегрує "еквівалент" до взяття межі? Загалом, чи можемо ми взяти диференціальний та інтегруватись, щоб знайти межу? Або це спеціальна програма?

— PGupta