Коли можна сміливо говорити про зменшення граничної корисності?

9

Я дуже багато чую, як говорити про зменшення граничної корисності - ідея полягає в тому, що додаткові одиниці товару стають прогресивно менш привабливими, чим більше одиниць цього хорошого вже є.

Однак це завжди робило мені трохи незручність через звичайність корисності. Якщо взяти тривіальний випадок світу, в якому є лише одне благо з корисністю $u(x)$ задовольняючи $u'(x),\ u''(x)<0$ (зменшення граничної корисності), тоді очевидно можна побудувати зростаючу функцію таку, що лінійна в . Більше того, оскільки функції корисності є інваріантними монотонно зростаючим перетворенням, є функцією корисності, яка представляє ті ж переваги, що і (але тепер має постійну граничну корисність). Таким чином, у світі з єдиним благом здається, що ніколи не має сенсу говорити про зменшення граничної корисності. $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

Моє запитання таке: розгляньте ринок з товарами. Чи існує формальна умова, за якої можна сміливо говорити про зменшення граничної корисності? Тобто чи існує такий клас переваг, що кожне дійсне представлення утиліти, , має для деяких ? $L>1$ $u(\mathbf{x})$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$

Як варіант, чи є простий доказ того, що для наявність представлення утиліти з для деяких обов'язково означає, що всі представлення утиліти мають ? $L>1$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ $i$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$

— Всюдисущий
джерело

Діттмер (2005) обговорює це детально. На вступному рівні ми навчаємо студентів, що існує щось, що називається "зменшення граничної корисності" (DMU), що означає, що корисність є кардинальною концепцією. Потім на середньому та випускному рівнях корисність раптом стає порядковою концепцією, де не може бути такого поняття, як DMU. І тому при переході від вступу до проміжних рівнів виникає величезна непослідовність. Ця непослідовність зазвичай залишається непоміченою для більшості учнів і, таким чином, не пояснюється викладачем.

— Кенні LJ

7

Поняття "гранична корисність" (а отже, і зменшення такої) має значення лише в контексті кардинальної корисності.

Припустимо, у нас є порядковий індекс корисності $u()$ , про одне благо та три кількості цього блага, $q_1<q_2<q_3$ , с $q_2-q_1 = q_3-q_2$ .
Переваги добре поводяться та відповідають умовам регулярності еталону, тому

у (q_{1}) < у (q_{2}) < у (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Це порядкова корисність. Тільки рейтинг має значення, а не відстані. Отже відстані $u(q_2) - u(q_1)$ і $u(q_3) - u(q_2)$ не мають поведінкової / економічної інтерпретації . Якщо вони цього не роблять, також не роблять коефіцієнтів

\frac{у (q_{2}) - у (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{у (q_{3}) - у (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Але межі цих співвідношень, коли знаменник перейде до нуля, було б визначенням похідної функції $u()$ . Таким чином, похідна позбавлена економічної / поведінкової інтерпретації, і тому порівняння двох примірників похідної функції не дало б значущого змісту.

Звичайно, це не означає, що похідні $u()$ не існують як математичні поняття. Вони можуть існувати, якщо $u()$ задовольняє умовам, необхідним для диференційованості. Таким чином, можна задати чисто математичний питання, "за якої умови функція, що представляє порядкову корисність, має суворо негативну другу похідну " (або негативну певну гессіанську для багатоваріантного випадку), намагаючись не трактувати це як "зменшення граничної корисності" з економічним / поведінковим змістом , але як лише математична властивість, яка може грати певну роль у досліджуваній ним моделі.

У такому випадку ми знаємо, що:
1) Якщо вподобання опуклі, індекс корисності є квазі-увігнутою функцією
2) Якщо уподобання строго опуклі, індекс корисності суворо квазі увігнутий

Але квазіконвактивність є властивістю іншого типу, ніж увігнутість: квазіконвактивність є "порядковою" властивістю в тому сенсі, що вона зберігається в умовах все більшого перетворення функції.

З іншого боку, увігнутість є "кардинальною" властивістю, в тому сенсі, що вона не обов'язково зберігатиметься під час все більшої трансформації.
Розглянемо , що це означає: припустимо , що ми знаходимо характеристику переваг , таких , що вони можуть бути представлені в індексі корисності , яка є увігнутою у вигляді функції. Тоді ми можемо знайти та здійснити деяку зростаючу трансформацію цього індексу корисності, що усуне властивість увігнутості.

— Алекос Пападопулос
джерело

4

Те, що ви запитуєте про "безпеку", означає, що ви вважаєте, що певний результат знаходиться під загрозою. Цю відповідь можна покращити, якщо ви зможете вказати результат, який ви могли мати на увазі. В іншому випадку візьмемо для прикладу першу та другу теореми добробуту. Вони не покладаються на зменшення граничної корисності.

Якщо ви стурбовані результатами щодо переваг над невизначеністю (ідеї щодо відмови від ризику тощо), то пригадайте, що хоча стандартне представлення функцій корисності без переваг є унікальним аж до позитивної монотонної трансформації, представлення функцій Von Neumann-Morgenstern переваги над невизначеністю унікальні лише до позитивних споріднених перетворень.

EDIT: Додаткові примітки.

Визначення функції корисності дається наступним чином (з Advanced Microeconomic Theory by Jehle and Reny, 2011): введіть тут опис зображення

— jmbejara
джерело