Попит маршалців на Кобб-Дугласа

Намагаючись максимально використовувати утиліту, яка має функцію утиліти cobb-douglas , з , я знайшов такі формули ( Вікіпедія: маршалський попит ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

В одній із моїх книг я також знаходжу такі формули з тією ж метою:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

З : ціни на товари; : бюджет $p_i$ $m$

Я протестував їх усіх, і вони дали однакові результати.
Так чи є різниці?

— user1170330
джерело

це відноситься до виключно? до

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Чи можете ви виправити якесь позначення? У другому прикладі є a і b експоненти функції корисності x1 і x2? Чи дорівнюють вони 1? Чи y у першій задачі такий же, як m у другій?

— BKay

@Jamzy: Так, так і є.

— користувач1170330

@BKay: Перегляньте мої оновлені позначення.

— користувач1170330

Відповіді:

Оскільки рівняння точно однакові. Заміщення в з у третє та четверте рівняння дає перше та друге рівняння. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
джерело

Чи можна редагувати ці формули для роботи з такою функцією утиліти, як ? Отже, з додатковим числом до ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— користувач1170330

Я пропоную задати це як нове запитання.

— BKay

Що робити, якщо ? Чи варто в цьому випадку використовувати формули 3 та 4?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— користувач1170330

@ user1170330 якщо вона все ще працює

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

Так ви переходите від першого рівняння до другого. ваша функція утиліти - оскільки Я трохи її зміню на a і (1-a) Для того, щоб оптимізувати ці два варіанти, вам потрібно максимально використати корисність , wrt змінні вашого вибору. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

за умови використання використовуючи Закон Вальраса. В основному, щоб оптимізувати корисність, всі гроші будуть витрачені. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Функції Кобба-Дугласа, як правило, важкі для проблем оптимізації. Можна використовувати монотонне перетворення, яке зберігає порядкові властивості функції.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Це використовуватиметься замість цього. Буде застосовано те саме обмеження бюджету.

Умови Лагранжа та першого порядку нижче

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

маніпулювання умовами першого порядку призводить до

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

заміна бюджетного обмеження $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Використовуючи ці результати, ми можемо розробити оптимальні групи споживання та за заданої комбінації ціни та багатства. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Джамзи
джерело