Візьміть, або залиште, це PBE

Я знайшов цікаве запитання, дивлячись на ідеальну-байєсівську рівновагу. Я не бачив питання, де переконання не є дискретними.

Є єдиний потенційний покупець предмета, який має нульове значення для продавця. Оцінка цього покупця v рівномірно розподіляється на [0, 1] і є приватною інформацією. Продавець називає ціну яку покупець приймає або відхиляє. $p_1$

Якщо він приймає, об’єкт торгується за узгодженою ціною, а виплата покупця - а продавець - . $v − p_1$ $p_1$

Якщо він відхиляє, продавець робить ще одну цінову пропозицію, p2. Якщо покупець приймає це, його виплата становить а продавець - , де . $\delta_(v − p_2)$ $\delta p_2$ $\delta = 0.5$

Якщо він відкидає, обидва гравці отримують нуль (більше подальших пропозицій немає).

Знайдіть ідеальну байєсівську рівновагу.

Мій звичайний підхід - виправити переконання, але я не зовсім знаю, як це зробити за допомогою постійних переконань. Будь-яка порада?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Брайан
джерело

Вибачте, я не міг придумати простий спосіб дати часткову пораду. Це приємна вправа. Чи б ви (або творець) заперечували, якби я використовував це на уроці?

— Giskard

Звичайно, не соромтеся!

— Брайан

Після публікації поганого рішення вчора, я вважаю, що отримав краще:

Стратегія покупця складається з двох функцій, де обидві функції відображаються на (де означає Accept, для відхилення). Стратегія продавця - . Ви отримуєте рішення за допомогою зворотної індукції. У PBE відображається на якщо і лише тоді, коли . (У рівності є несприятливий рівень свободи.) У PBE продавець вважає, що існує безліч типів для яких покупець відмовився від її пропозиції . Тоді $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ $\left\{A,R\right\}$ $A$ $R$ $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ $f_2(v,p_1,p_2)$ $A$ $v \geq p_2$ $H$ $p_1$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ Покупець прийме пропозицію тоді і лише тоді, коли З цього ви отримуєте Ліва частина цього рівняння збільшується в , тому типи з високою оцінкою приймуть. Це означає, що в PBE множина така, що З цього отримуємо оптимальний заданий : У PBE є функцією :

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ тому Ми визначили всі стратегії PBE, але . Очікувана виплата продавця - де Підмінивши це, ми отримаємо

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Ви повинні максимізувати цей wrt . З я отримав $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Гіскард
джерело

Я відчуваю, що це питання також можна трактувати як фірму, яка намагається перевірити споживачів різних оцінок, представлених як інтервал закритого одиниці. Оптимальна схема ціноутворення полягає у встановленні двох цін, щоб клієнти високих оцінок платили за вищою ціною на першому етапі, а деякі із низьких оцінок платять за нижчою ціною на другому етапі.

— Світовий мир Метта

Ви повинні пояснити, чому комунальні послуги відрізняються в раунді 2. Для продавця це може бути проста знижка, а для покупця? Якби товари були довговічними, то типи, які купують товар, отримали б певні переваги в обох раундах.

— Giskard

Я не дуже дотримуюся. Чому покупці не можуть знизити комунальні послуги, отримані у другому турі? Це можна трактувати як дворічне скидання цін, правда?

— Світовий мир Метта

Збентежуючи, але я ніколи не чув про цю модель до цих пір. Ви маєте рацію, це чудово описує вищезгадану гру.

— Giskard

Ви сказали, що покупець прийме тоді і лише тоді, коли але не покупець відхилить, якщо і і перевищують , незалежно від того, чи задоволена вищенаведена нерівність?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Франклін Пецуті Дайер