Леонтьєвські переваги

Я можу вирішити більшість проблем з максимальної корисності, використовуючи свої математичні знання .... але не тоді, коли мова йде про переваги Леонтія. У мене немає книги, на яку слід спиратися (я самостійно вивчаю), тому дуже хотів би допомогти. Як вирішити загальну максимізаційну задачу, наприклад де - дохід і - ціна на добро ?

max [α x_{1}, β x_{2}, γ x_{3}] subject to λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + λ_{3} x_{3} = M

$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$

M

$M$

λ_{i}

$\lambda_i$

i

$i$

Дійсно, все, що я знаю про похідні та схили, виходить у вікно з цією проклятою річчю. Якби хтось сказав мені, якими є ціни та дохід, оптимальний вибір, коли всього лише кілька товарів, можна було б знайти, просто застосувавши здоровий глузд, а як щодо загального випадку? Чи немає такої загальної "формули", як для функцій Кобба Дугласа та CES? Чи є якийсь метод переходу, який ми використовуємо в цих випадках?

— Джон Геттнер
джерело

Що стосується уподобань Леонтьєфа, не існує minоператора чи такого немає?

— FooBar

Вам не вистачає оператора безпосередньо перед дужкою. Проблема максимізації корисних програм така: Поміркуйте у випадку двох товарів з корисністю заданими . Оптимально, що ви знаєте про співвідношення та ? Вони повинні бути рівними, тобто Якщо ні, то припускайте без втрати загальності, що . У чому корисність таких варіантів та ? Це повинно бути $\min$

max min [α x_{1}, . . ., γ x_{3}] such that λ_{1} x_{1} + . . . + λ_{3} x_{3} = M

$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$

u

$u$

u (x) = min [α x_{1}, β x_{2}]

$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$

α x_{1}

$\alpha x_1$

β x_{2}

$\beta x_2$

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

α x_{1} > β x_{1}

$\alpha x_1 > \beta x_1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

β x_{2}

$\beta x_2$ , це означає, що частина ваших грошей витрачається на (якщо припустити, що ціни є суворо позитивними), але це не дає додаткової корисності, тому це не може бути оптимальним вибором споживання.

x_{1}

$x_1$

Звідси випливає, що рівність повинна дотримуватися оптимуму (це очевидно і графічно). Поряд з бюджетним обмеженням, це дає вам два рівняння та дві невідомі, які можна вирішити для оптимального споживання. Аналогічний підхід може бути застосований і до товарів. $n$

Звичайно вище, припускаємо, що ми маємо справу з тривіальною проблемою максимізації утиліти, і не робимо цілого програмування тощо.

— Jaood
джерело

Я думаю , що це дає 3 рівняння і 3 невідомих: , і . Правильно?

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

β x_{2} = γ x_{3}

$\beta x_2 = \gamma x_3$

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3} = M

$p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 = M$

— Mathemanic