Стохастичне зростання в безперервному часі

Література: Див. Чанг (1988) для теоретичної частини та Achdou et al. (2015) для числової частини відповідно.

Модель

Розглянемо наступну стохастичну проблему оптимального зростання в нотації на душу населення. все стандартне, крім яке є приріст стандартного процесу Вінера, тобто . Темп приросту населення має середнє та дисперсію .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Аналітичне рішення

Ми припускаємо технологію Кобба-Дугласа

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

і утиліта CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Налаштувати Гамільтон-Якобі -Рівняння Бельмана (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

Умова першого порядку (FOC) читає

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ where

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ позначає функцію політики.

Замініть FOC в HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Ми здогадуємось функціональну форму з ( Posch (2009, ек. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

де - деяка константа. Похідна першого і другого порядку задається $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Потім HJB-e зчитує start

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

Максимізований HJB-e є істинним, якщо виконуються наступні умови

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Замініть на який, нарешті, дає функцію справжнього значення $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Чому так, що не залежить від ? $v$ $\sigma$

Отже, детерміновані та стохастичні значення значення повинні бути однаковими. Потім функцію політики легко надає (використовувати FOC та похідну від значення функції)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Зауважте, що ця функція також не залежить від . $\sigma$

Числове наближення

Я вирішив HJB-e за схемою вітрів. Допущення помилок . На малюнку нижче я побудую функцію політики для зміни . Для я приходжу до справжнього рішення (фіолетовий). Але для приблизна функція політики відхиляється від справжньої. Що не повинно бути так, оскільки не залежить від , правда? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Чи може хто-небудь підтвердити, що приблизні функції політики повинні бути однаковими для будь-якого , оскільки справжня не залежить від ? $\sigma$ $\sigma$

— незрозумілий
джерело

Що мене тут турбує, це перша умова "iff" після того, як ви пишете "максимальний HJB-e справжній, якщо дотримуються наступні умови": це дуже специфічне відношення рівності, яке повинно утримуватися між усіма параметрами параметрів моделі- переваги, приріст населення, продуктивність капіталу та мінливість. Цікаво: чи ми можемо реально працювати з відгаданими функціями, термін дії яких залежить від такої дуже вузької умови щодо параметрів?

— Алекос Пападопулос

Ну, тут я фактично фіксую як функцію від чотирьох інших параметрів. Отже, рівняння завжди вірно, якщо на додаток дотримується . Цікаво: чи є якесь правило, коли відгадування функції заборонено? Я маю на увазі, ми зацікавлені в пошуку справжнього рішення і за певних умов отримуємо справжнє рішення. Я не впевнений, що вас тут турбує з теоретичної точки зору? Звичайно, це може обмежувати емпіричну роботу, але тут справа не в цьому. Ми скоріше зацікавлені у вирішенні HJBe, і це можна зробити. Якщо емпірик (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— незрозумілий

оцінки і ми виявляємо, що умова порушено, то ми можемо відхилити модель. Однак рішення в принципі залишається вірним. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— незрозумілий

Моя стурбованість не стосується емпіричної обґрунтованості. Мені цікаво, наскільки конкретна здогадка про функціональну форму функції значення залежить від цього співвідношення між параметрами. Без посилання на будь-які емпіричні дані, якщо припустити, що відношення не дотримується, що тоді? Чи слід здогадуватися про значення функції, яка не є навіть експоненціальною в , чи достатньо було б зберегти експоненціальну структуру, але спробувати різні способи включення в неї параметрів? (до речі, я також розглядаю ваше головне питання, оскільки це обговорення, ймовірно, периферійне)

k

$k$

— Алекос Пападопулос,

Ви впевнені, що проблема оптимізації вказана правильно? Немає, наприклад, очікування, яке діє на скажімо, ? Як зазначено зараз, і, отже, ймовірно, припускають будь-яке значення, враховуючи процес Вінера .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Ганс

Більше коментаря:

У постановці проблеми повинен бути оператор очікування, інакше проблема не має сенсу.

Те, що "... детерміновані та стохастичні функції значення повинні бути однаковими ..." не зовсім правильно. Значення є визначальним у обмеженні $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Якщо , то, мабуть, для економічно обґрунтованих та , і в цьому випадку детермінована проблема може бути неправильною. Щоправда, це те, що функція стохастичного значення приймає задану форму лише в тому випадку, якщо виконується обмеження параметра. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Розділення фактору Ito з правого боку $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

обмеження можна записати як

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

У правій частині ми маємо пружність міжтемпорального терміну заміщення та термін відхилення ризику . Зазначене обмеження говорить про те, що при конкретному виборі вони компенсують один одного, до часу переваги та дрейфу . Тому функція значення не залежить від . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Те, що функція значення не залежить від є артефактом обмеження та вибору CRRA . Неправда взагалі. $\sigma$ $u$

— Майкл
джерело